AUX

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1778; 1777.

Je me propose de donner dans ce Mémoire une méthode pour intégrer, toutes les fois que cela est possible, les équations linéaires aux différences partielles; cette méthode est fondée sur la forme dont les intégrales de ces équations sont susceptibles : comniie la recherche de cette forme tient à la métaphysique du calcul, on pourrait craindre ici Tobscurité qui souvent accompagne la métaphysique; je vais donc faire en sorte de présenter mes idées le plus clairement qu'il me sera possible, et de manière à ne laisser aucun nuage sur un objet aussi intéressant. L'illustre inventeur de ce calcul, M. d'Alembert, et plusieurs grands géomètres après lui s'en sont déjà occupés avec beaucoup de succès; mais leurs recherches, d'ailleurs très profondes, ne présentent, si j'ose le dire, que des procédés isolés qui, lorsqu'ils deviennent insuffisants pour intégrer une équation proposée, laissent justement lieu de douter s'il ne serait pas possible d'en obtepir l'intégrale par d'autres voies : la méthode suivante, au contraire, en embrassant tous

(*) Lu en 1773. Remis le 4 décembre 1776.

les cas d*intégration, réunit le double avantage de donner les intégrales complètes, lorsqu'elles sont possibles, ou de s'assurer qu'elles sont impossibles; j'espère d'ailleurs qu'elle ne laissera rien à désirer du côté de la simplicité et de la facilité de la mettre en usage.

5 étant fonction quelconque de plusieurs variables cc^ y^ . . -t je suppose qu'on la difTérentie, en ne faisant varier que x^ et que l'on désigne par -^ le coefficient de dx dans cette différence (il ne faut pas

confondre cette expression %- avec celle-ci ^) qui signifie la différence entière de :;, divisée par rfj?); que Ton représente encore par -3le coefficient de dy dans la différence de z\ une équation quelconque entre s, a-, y, -^ > -.— est aiix différences partielles du premier ordre.

Pareillement, si l'on différentie 2:1° deux fois de suite par rapport k a? et par rapport à j, en regardant dx et dy comme constants, et que

Ton désigne par ^-^ et -~ les coefficients de dx^ et de dy^ dans ces

différences; 2^ une première fois par rapport à x, et une seconde fois par rapport à j, ou, ce qui, comme l'on sait, revient au même, une première fois par rapport à v, et une seconde fois par rapport à x^ et que

l'on désigne par ^— y- le coefficient de dxdy; si l'on a une équation

quelconque entre :;, x, y, y^, -r^» -y-^,, ^ et ^> elle sera aux différences partielles du second ordre, et ainsi de suite pour les ordres suivants.

Une semblable équation étant donnée, il s'agit d'en trouver l'intégrale, c'est-à-dire de trouver une fonction finie entre 5, x et y, telle qu'elle satisfasse à cette équation de la manière la plus générale; le problème pris ainsi dans toute son étendue présente des difficultés bien supérieures à celles de l'intégration des équations aux différenrces ordinaires, en sorte qu'on peut regarder une équation aux différences partielles comme intégrée, lorsqu'elle est ramenée à l'intégration

d'une équation aux différences ordinaires, à peu près comme on est censé avoir l'intégrale de celle-ci, lorsqu'elle ne dépend plus que do l'intégration des fonctions différentielles.

Les équations aux différences ordinaires peuvent être considérées comme des cas très particuliers des équations aux différences partielles : il suffil pour cela de rendre nuls, dans ces dernières, les coefficients des différences de :;, prises par rapport a j; on aura, de cette

manière, une équation entre a?, y, z, ^, ^> •••> dans laquelle y

pourra être considéré comme constant, et si cette équation est de l'ordre n^ son intégrale renfermera n constantes arbitraires, qui seront fonctions quelconques de y.

De ce que, dans un grand nombre de cas particuliers, l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles de Tordre n renferme n fonctions arbitraires, on a exigé la même condition de l'intégrale complète d'une équation quelconque aux différences partielles; mais il arrive souvent qu'elle est impossible à remplir, et l'on en verra des exemples dans la suite. Il serait sans doute bien utile d'avoir une méthode pour s'assurer si une équation donnée est susceptible d'une intégrale complète, et dans ce cas de la déterminer; c'est là ce que je me propose de faire sur les équations aux différences partielles linéaires : j'appelle ainsi les équations dans lesquelles la variable s et ses différences ne sont élevées à d'autres puissances que l'unité, et ne se multiplient ou ne se divisent point les unes par les autres; j'ai choisi ce genre d'équations, de préférence à tout autre, parce qu'il se rencontre fréquemment dans l'application de l'analyse à la nature, principalement lorsqu'il s'agit de déterminer les oscillations infiniment petites du système d'un nombre infini de corpuscules, qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque, et dont l'état primitif peut être quelconque (*).

(1) Ces recherches, à quelques additions près, ont été lues à rAcadémie dans le courant de Tannée 1773, et j'en ai donné, dans le Tome VI des Savemts étrangers, quelques résultats, parmi lesquels se trouve Tintégration de Téquation (1) de Tarlicle suivant (<>).

(•) Œuvres de Laptace, T. TIU, p. 63 à <S.

L'équation générale linéaire du premier ordre est

dx dy

a, 6 et T étant fonctions quelconques de x et de y. M. d'Alembert en a donné, le premier, l'intégrale dans le Tome IV de ses Opuscules. Je vais intégrer la suivante qui la renferme

/ V dz dz --

V étant fonction de x^ y et z.

J'observerai ici que je regarde une équation aux différences partielles comme intégrée lorsqu'elle est ramenée à l'intégration d*une équation aux différences ordinaires. Cela posé,

Je considère d'abord :; comme fonction de x et de y, et ensuite

comme fonction de x et d'une nouvelle variable a, ce qui donne, en

différentiant,

, dz , dz ,

dz = -r- dx H — r— dVm

dx dy^'

dz = ( -T — I dx -\ — r- du% \dx) du '

■^ désignant le coefficient de cLc, dans la différentiation de 2, lorsque ;;

est considéré comme fonction de a? et de j'; et (^j désignant ce

même coefficient lorsque z est regardé comme fonction de x et de u.

Si l'on considère présentement u comme fonction de x et de y, on aura

— dx dx

du dy

dy;

[dx)

, dz du , dx -^ -z — r- dx du dx

du ,

dy''^'

dx ~

iàx)-^

dz du du dx

ày

dz du "" du dy

Téquation (i) deviendra ainsi

^ f Èl\ ÈL^ dz du ^

V^J?/ du dœ du dy

La variable u étant indéterminée, je puis la supposer telle que Ton ait

du du ^

dx dy^

on aura ainsi

équation qui sera réduite aux différences ordinaires, lorsque, après avoir déterminé u au moyen de celle-ci

du du

dx dy^

on en aura tiré la valeur de y en x et en u, et on Taura substituée

dans V.

U ne s*agit donc plus que de trouver une valeur qui satisfasse pour

u à l'équation

du du ^

"" dx dy^

or, puisque Ton a

, du j du j du = -5— dx 4- -r- dy.

dx dy ^

on au ra '^

du:=^ -^{^dy " cLdx)\

soit N le facteur par lequel , multipliant dy ^ (t dx, on rend cette quantité une différentielle exacte, et que Ton fasse

on aura

du = -^de;

partant, u est fonction de 6; prenons 6 pour cette fonction même, en

Œuvres de L. — W. 2

sorte que Ton ait w = 0; 0 étant fonction de x et de j, on aura v en fonction de x et de u\ cette valeur de y substituée dans V rendra cette quantité fonction de x^ z et u. Soit Y' cette fonction, on aura

équation dont l'intégrale, en supposant u constant, peut être mise

sous cette forme

S étant fonction de x^ z et e/, et C étant une constante arbitraire qui peut être une fonction quelconque de u^ ou, ce qui revient au même, de 6; désignant donc par r(0) une fonction arbitraire de 6, l'équation

est l'intégrale complète de la proposée

dz dz .

l'intégration de cette équation se trouve ainsi réduite à celle de deux équations aux différences ordinaires, puisque la recherche du facteur N dépend, comme l'on sait, de l'intégration de l'équation

dy — a dx =: o.

Déterminons, d'après cette méthode, l'intégrale de Téquation linéaire

dz àz a —

ôx dy

pour cela, on intégrera d'abord celle-ci

du du

dx dy'

soit u = <p(0) son intégrale; en faisant ^(ô) = 0, on aura a = 0; d'où l'on tirera y en fonction de a? et de m; en substituant ces valeurs dans

6 et T, elles deviendront fonctions de x et de u; soient & et T ces fonctions, on aura

équation dont l'intégrale est, comme Ton sait, en regardant u comme constant,

le signe r se rapportant à la variabilité de x seul; or, la constante C pouvant être fonction quelconque de 6, on aura, pour l'intégrale de l'équation linéaire aux différences partielles

o=:3--ha^-H-^x;-4-T, ox oy

d'où il suit que la forme de cette intégrale est

s = H -4- A 9(0), A, H et 6 étant des fonctions déterminées de x et de j.

On aurait pu trouver cette forme a priori, de la manière suivante.

Pour cela, j'observe que l'intégrale d'une équation aux différences partielles du premier ordre ne renferme qu'une fonction arbitraire que je représente par ?(0); or il peut arriver que la quantité 6, dont la fonction arbitraire est composée, soit une fonction déterminée de x et de^, ou qu'elle soit indéterminée; examinons séparément ces deux cas.

Premier cas. — Lorsque B est fonction déterminée de x et de y.

L'intégrale peut alors être mise sous cette forme 2 = M, M étant fonction de a?, y et de ç(ô); or, (p(0) étant une fonction arbitraire, je puis la supposer égale à une fonction quelconque déterminée de 0,

plus à une fonction arbitraire infiniment petite, que je désigne par I r(0), I étant un coefficient infiniment petit. Si Ton substitue cette valeur de f (0) dans M, et que l'on réduise cette quantité dans une suite ascendante par rapport à i\ on aura une expression de cette forme

En substituant cette valeur de z dans l'équation

^ ' • dx dy

que je nommerai dorénavant, pour simplifier, l'équation j(K), tous les termes homogènes par rapport a i doivent se détruire réciproquement; on aura donc

dx dy

o = -r — h«-v- + 6N% dx dy

partant, l'équation

5 = N-hN'

satisfait à l'équation (K); de plus, elle en est l'intégfalc complète, puisque N' renferme la fonction arbitraire r(0).

On aura iN' en différentiant M par rapport à 9(0), et supposant la diff^érence de ç(0) égale à ïT(0); d'où il est aisé de conclure que la fonction arbitraire r(0) existe dans N' sous une forme linéaire; mais elle peut y être affectée des signes différentiel et intégral, en sorte que

N'peut renfermer des termes de cette forme H ,^^ > et si l'on représente par (X, \k\ [jl", . . . des fonctions quelconques de x et de y^ N' peut renfermer encore des termes de la forme

HyLrfn/L'rfH'/L'rfK. . . ^^;

soit

dQ'^ -^ ^^^'

et supposons d*abord que le terme précédent ne renferme qu'un seul signe r, de manière qu'il soit H rLrf(jir''(6); il est clair que, pour que l'intégration soit possible, LP(6) doit être fonction de (x; or on a

da •=: -^ dx -^ -rP dv; ^ dx dy "

on aura donc

l'intégrale / L^rf2?P(6) étant prise en ne faisant varier que rc, et en y ajoutant une constante qui sera fonction de y seul; on peut donc toujours réduire l'intégrale flud^V^^b) à une intégrale de Tune ou l'autre de ces deux formes fydxVÇa) ou fydyV(Q), ces intégrales étant prises en ne faisant varier que x ou j. On réduira pareillement la double intégrale fhd\kfh'd^'T'^(Ji) à l'une de ces quatre formes

fydxf\'dxT''(9), fydyfy'dyT^(9), fydxfy'dyT''(9), fydyfy'dxT^(e);

or on peut réduire à de simples intégrales les doubles intégrales

fydxfy'dxY''{B) et fydyfy^dyT'^ie);

car, si Ton fait fy dx = R, on aura

fydxfy'dxY''{Q) = Vi.fy'dxY''{B)--'fy'KdxT''{By,

on voit ainsi que, toutes les fois que, dansnin terme, deux signes / consécutifs se rapportent à la même variable, ce terme peut se réduire ; il résulte de là que le terme

peut être réduit à des termes de Tune ou l'autre de ces deux formes

VifWdx fW'dyfW'dx. . .r«(ô)

Uf\djrfy'dxf\'dy...T'*(e).

Présentement, si Ton fait fy dx== R, on aura

nf\dx^^^ =imTn{e)-ufn^dx

dO**^

on peut donc, en suivant ce procédé, augmenter d'une unité Tordre de la différence de la fonction arbitraire enveloppée sous le signe f; si

jf T*/ û\ *'

Ton suppose conséquemment que ,q). soit la plus haute différence

de r(0) dans N', on pourra réduire toutes les différences de r(6) enveloppées sous le signe intégral à être de l'ordre r; partant, si Ton fait

d''T{e) dr-^T(e) dr-^T(9)

l'expression de z sera comprise dans la formule suivante :

'^Lf\dx^{B)-hVf\'dx^{e)'^,..

^lf\idy^{Q)-^\'f\}'dyri^{Q)^...

-h PfQdxfQ^dyi\,{e) 4- P' fQ' dxfQ" dy^(6) -+-...

'i'RfSdyfS'dxr\,{e)^...

Second cas. — Lorsque 9 *€st fonction indéterminée de x et de y.

Il peut arriver que, dans l'intégrale d'une équation aux différences partielles, la quantité 0, enveloppée sous le signe de la fonction arbitraire, soit elle-même indéterminée; par exemple, si, dans l'équation

aux différences partielles -r^ = ^, on fait ^ = ô, on aura

dz =1 -r- dx -\- -^dyrrzd^dx-hOdy; ax âv '^ ^

partant,

z =: Q^ X -^ By — f de{2Qx -^ y);

d'où il suit que 2(ix-hy est fonction de 6 ; soit donc

et que Ton fasse — ^— = Ç'(®)» ^" ^"^^

et 6 se détermineflppar Téquation

en sorte que cette quantité est elle-même indéterminée; mais cela ne peut jamais avoir lieu dans Tintégrale d*une équation linéaire aux différences partielles, ou, lorsque cela arrive, il est toujours possible de réduire la quantité enveloppée sous la fonction arbitraire à être une fonction déterminée; car, si, dans l'équation qui sert à déterminer 6, l'on suppose à la fonction arbitraire (p(ô) une valeur quelconque déterminée, plus une valeur arbitraire infiniment petite, que je représente par « r(0), i étant infiniment petit, on trouvera 0 égal à une fonction finie et déterminée de x et de y, que j'exprime par cr, plus à une valeur infiniment petite et indéterminée dépendante de iT(0); si l'on substitue présentement, dans l'expression de 5, au lieu de 0 et de ?(ô), ces valeurs, et qu'on la réduise dans une suite ascendante par rapport à e, on aura

N' étant fonction deo:, r et de la fonction arbitraire r(CT); cette valeur dez, satisfaisant à l'équation (K), il est clair que tous les termes ho-

mogënes par rapport à {'doivent se détruire réciproquement; d'où il est aisé de conclure que Téquation