zz N -f- N
satisfait à l'équation (K), et qu'elle en est conséquemment l'intégrale complète, puisqu'elle renferme la fonction arbitraire r(a); or, la quantité ts étant une fonction déterminée de x et de y, ce cas rentre dans celui que nous avons considéré ci-dessus.
Pour éclaircir le raisonnement précédent par un exemple fort simple, considérons l'équation linéaire aux différences partielles
si l'on fait
on aura
partant,
âz dz ^
dy "" dx^
àz ^ dz
qz=:px, dz=zpda: -h qdy; dz=p dx -hpx dy
et, en intégrant.
Z=:pX -h
Jpa^{dy-'^y,
àoïicpx est fonction de j — lp\ soit
jpx [dy - -Çj =. 9(/ -//;);
on aura
5=;>ar-h9(7 — //>)
Qlp sera déterminé par l'équation
pxz=i(^'{y — lp),
en sorte que la quantité j — Ip^ enveloppée sous le signe de la fonction arbitraire, est ici indéterminée. Pour faire voir comment on peut la réduire à être déterminée, soit
? (r ~ (P) =7 - //> 4- « rO' - ip) ;
on aura
d'où l'on tire
, ir(y-lp)
en représentant par T\y — Ip) la différence de T{y — Ip), divisée par d{y — lp)\ sur cela, j'observerai en passant que, dans la suite, je dési-
gnerai ^ par r(0). ^^ par ^(0), ^ par r (ô), .... Je re-
présenterai semblablementyrfOr(0)parr,(0),ye/Or,(ô) parr,(0), Jd^T2(0) par r5(6), ..., et la même notation aura lieu pour toutes les fonctions arbitraires.
Présentement, si l'on néglige les quantités de l'ordre i', on pourra
substituer, dans les termes multipliés par i, -au lieu de p, et l'on aura
I îT'iy-hlx)^
donc
z =:px 4- f(y — Ip)
— px '\- y — Ip '\- iT{y ^ Ip)
— i^y^ljc 4- 2t r(7 4- Ix) — /[i 4- il' (y 4- /^)| = i4-/-f- Ix -\-iT(y-^ Ix);
partant, l'équation
z = I 4- V 4- /.r 4- r(7 4- Ix)
satisfait à celle-ci
ds dz
dy ~' dvc'
et, par conséquent, elle en est l'intégrale complète.
L'expression précédente de z peut être mise sous cette forme plus simple
pour voir maintenant d'une manière directe comment cette expression de z coïncide avec celle-ci
z^^px-^c^iy — lp),
OEuvreê de L. — IX. 3
on observera que Téquation
donne
donc
ou
d'où Ton tire
à cause de
partant,
y — lp = n{pa:);
y — Ip -h Ipœ z=z Ipx -\- \l{px)
y -\- lx=: IpX 4- l\{px)j
px = r(7 -h Ix) =: <p'(jK — Ip),
pxz=zcf'(y^lp);
f^lp = T{y-{- Ix),
On voit donc quej^ — Ip ctpx sont fonctions de y -i- ix; donc z étant égal hpx -^^(y — Ip) est égal à une fonction quelconque de y ■+- Ix, Il suit de là que la forme de l'équation (T) est la seule dont l'intégrale de l'équation (K) çst susceptible; si l'on fait présentement
= *V, on aura
dx
fydx^{e)=^y^,{e)-^f^dx^,(e);
d'Y en faisant pareillement —te- = ^V, on aura
dx
et ainsi de suite; on pourra réduire ainsi le second membre de l'équation (T) dans une série ordonnée par rapport à ^'(0), '^iC^)» 'l'a(^)' •••• et l'on aura pour z une suite de cette forme
si l'on substitue cette valeur de :; dans l'équation
àz âz ^ „,
ax ay
on aura
,,., [d\ dA ., .,/JO de\-\ , ,û, r^A' d\' -., ../de dÔNl
La fonction ^'(O) étant arbitraire, il est clair qu'il n'existe aucune relation entre ^'(^)» ^(^)» ^i (^)» • • • » ^n sorte que, dans l'équation précédente, les coeiBcients de ces quantités doivent être séparément égaux à zéro ; on aurA donc
dN dx
ày
-hSNH
dO dx
dô ày
dX dx
dA
ày
dA' dx
dA'
ày
On peut satisfaire à toutes ces équations, excepté aux trois premières, en faisant A' = o, A"= o, . . . , et l'on aura
dy ày
dd de
0= -r h oL-T-y
ax oy
dk àk ^.
0=3- -^OL-T- -^-SA, dx dy
Il suffit de trouver pour N, ô et A des valeurs particulières qui satisfassent à ces trois équations : on aura ainsi, pour l'intégrale complète
de l'équation (K),
5 = N-hA^(0);
or cette forme est précisément la même que celle h laquelle nous sommes arrivés précédemment.
On peut observer ici que les fonctions arbitraires sont à peu près, dans les intégrales des équations aux différences partielles, ce que sont les constantes arbitraires dans les intégrales des équations aux différences ordinaires; or on sait que ces constantes y sont sous une forme linéaire lorsque Téquation est linéaire, et il est facile de s'en assurer a priori p^T un raisonnement analogue au précédent; car, si Ton considère Téqualion
a et T étant des fonctions quelconques de x, son intégrale sera
M étant fonction de x et d'une constante arbitraire C; si l'on fait C = I -t- iH, i étant un coefficient infiniment petit et H une constante quelconque, on aura, en réduisant M dans une suite ascendante par rapport à i,
en substituant cette valeur de z dans l'équation
àz ,-,
tous les termes homogènes par rapport à (doivent se détruire réciproquement; on aura donc
d'où il suit que l'équation
