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On aura donc, en négligeant les quantités de Tordre a, o = j, d'où
il suit que la valeur de x qui rend y un maximum est à très peu près la véritable, quelle que soit d'ailleurs la loi de facilité des possibilités des deux événements simples.
Âpres avoir déterminé les possibilités des événements simples qui résultent d*un événement composé propre à les faire connaître, il nous reste à considérer l'influence de cet événement sur la probabilité d'un événement futur quelconque, et la manière dont on doit calculer cette probabilité. Si l'on nomme o; et i — j? les possibilités de deux événements simples, s la facilité de rr, et sf celle de i — o?, on calculera les probabilités, tant de l'événement observé que de l'événement futur, en partant de ces possibilités, et l'on aura pour résultat deux fonctions de X, dont nous représenterons la première par y et la seconde par k; cela posé, si l'on nomme P la probabilité cherchée de l'événement futur, on aura, par les articles XIV et XV,
fss' uy dx P= - ,
/ ss* y dx
les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis o? = o jusqu'à a? = I. Lorsque l'événement observé sera très composé, la méthode de l'article XXIII donnera ces intégrales par une approxi* mation très rapide, ce qui montre l'étendue de cette méthode et son utilité dans ces matières.
Si l*on n'a aucune donnée sur la loi de possibilité des deux événements simples, ce qui est le cas le plus ordinaire» on doit supposer (art. XVII) s et s' égaux à l'unité, ce qui donne
fjrdx
or on a, à très peu près, par l'article XXIII,
( Cardx\- ^^"V ,
dx^
y et ^ étant ce que deviennent ces quantités lorsqu'on y substitue
pour X la valeur qui rend j^ un maximum, et m', y et -^ étant ce que
deviennent u^y et ^ lorsqu'on y substitue pour x la valeur qui rend uy un maximum; on aura donc
dx'^
Supposons que l'événement futur dont on calcule la probabilité soit très peu composé, en égalant à zéro la différentielle de uy, on aura
dy du
y dx udx^
mais on a, par la supposition,
y dx az a'*'*
en faisant - = z'\ l'équation précédente deviendra ainsi
du ,
udx
Soit a la valeur de x qui rend y un maximum, et par conséquent z' nu]; la valeur de x qui rend uy un maximum pourra donc être représentée par a + ah, h étant un coefficient quelconque, et Ton aura
y, -^j -r^7 ••• étant ce que deviennent ces quantités lorsqu'on y fait a? = a; on a ensuite
d}y __ dx^
*^\a* a dx j
dx^^^\o^^ '^ a^^ dx'^a dx^y
La supposition de a: = a donne z'= o, et, par conséquent,
PL* h* d}y __ flc»A» d^ I .a. 3 c/j?* i.a.S*^ dx*^
on aura donc, en négligeant les termes multipliés par a ,
On a d'ailleurs
d^ju'y) ,d^y' a du^ df ,d*t^' . dx* "" dx* dxdx ^ dx* *
or il est visible, par ce qui précède, que -^ est beaucoup plus grand que -^ et que y, en sorte que Ton peut supposer, à très peu près,
dx^ dx^ '
et l'on prouvera, comme nous venons de le faire pour y\ que -r^
cP y
peut être supposé égal à ^^> partant
d'{u'/) ,cny
dx^ " dx^
La formule (a) deviendra donc
mais, si Ton nomme v ce que devient ii lorsqu'on y fait a? = a, on aura, en négligeant les quantités de l'ordre a, u'— v; donc
d'où il suit que l'on peut calculer la probabilité P de l'événement futur en employant pour x la valeur qui rend y un maximum.
Ce théorème cesserait d'être exact si l'événement futur dont il s'agit
était lui-même très composé, car alors —^ serait très grand, et la valeur de X, que donne l'équation
du ,
udx
ne pourrait plus être représentée par a-haA; on ne pourrait plus d'ailleurs supposer — ^"'{ égal ài/^^- Si l'on représente, en général, par u -t- a"A la racine de l'équation
du
udx
n étant un exposant moindre que l'unité, on aura
et Ton trouvera
/ ^ wdy cf}'* A* d} Y
-^ -^ dx 1.2 dx^ '
«»"A' d}y g'^-'A' d^ 1 . 2 dx'^ 1.2 ^ dx '
OEuvrei de L. — IX, 6o
kU MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS,
partant
