VX« (I-X
la question est réduite à déterminer l'intégrale v^ / ^~^' depuis
x = Q jusqu'à a?= I. Au lieu de cette intégrale, on peut considérer
celle-ci y[^ f Z ^^X, x étant regardé comme fonction de X; mais
il faut prendre cette dernière intégrale depuis la valeur de X qui a lieu lorsque x = o jusqu'à celle qui a lieu lorsque a: = i; or, en faisant 0? = o, l'équation (/') devient
partant
En faisant a? = i, cette équation donne X = i; on doit donc prendre l'intégrale J^ ^rfX, depuis X = p^^^^^^^^^, jusqu'à X = i.
Supposons é wv =y' • lîi condition du maximum de j^' donne
Téquation
(I dx \ R^j.
dy
y I dx
or, 7 étant égal à X^(î - X)^(X - a?/ (i - X h- a:/, on a
cette équation se réduit, en vertu de l'équation (/), à celle-ci
dy
Maintenant, p etq étant de très grands nombres, il est visible que -^
est incomparablement plus grand que ^ — » et qu'ainsi on peut
négliger la seconde de ces deux différentielles par rapport à la première; on aura donc, à très peu près, dans le cas du maximum de y\
^^-X-T^X' partant
p-hq
Cette valeur de X est moindre que , ' ^ j lorsque -,— — -, est,
comme nous le supposons ici, plus grand que ^ ; les deux limites
dans lesquelles il faut prendre l'intégrale jy'dx sont, par conséquent, au delà de la valeur de X qui rend y un maximum; ainsi l'on doit, pour déterminer cette intégrale, faire usage de la suite (X) de l'article XVIII.
On a, k très peu près.
y' -y -U i-^Xr^'
d'ailleurs, en différentiant Téquation
^^P q ^__EL y"
X I — X X — X I — X-Hor'
on trouve
dx R«
donc
Soient
(X — X)* (I — X-+-ar)«
oc oc 0c oc
la quantité que nous avons nommée % dans l'article XVIII sera ici
^<'-^)[(X-a;)t-^-(,XH-^)«J
X étant la variable principale dont x est fonction; si Ton observe ensuite que, X étant égal à Tunité, on ay=o, la suite (y) de l'article cité donnera
r ij I ( dz ^d{zdz) .dïzdizdz)] i
en substituant, après les différentiations dans le second membre de cette équation, —, — -, pour X et en y faisant x = o.
Si l'on suppose X = —^ — h 0, 0 sera égal à ^i.^.
et l'on aura
or, 0 étant très petit, les différences successives de z croissent principalement par la différentiation du facteur 6 qui se trouve au dénomi-
nateur, en sorte que, si Ton suppose
U H- f*) LX« "^ (1 - X)« ■*" (X ~ a:)« "*■ (I - X -h a:)* J
on aura, à très peu près,
dz F
d(,zdz) ZY^
partant
y et F étant ce que deviennent ces quantités lorsqu'on y suppose X -=o et X = P-^P çg qyj donne
Il est aisé de voir par l'analyse de l'article XVIII que fy'dx est
fT v' F a. v' F / ff F \
moindre que -4— > plus grand que -4— (i '" ~w) ^^ moindre que
-=j- ( I — -gr "^ — m~ )' ^'^ sorte que 1 on a par ce moyen les limites
dans lesquelles la valoir de fydx est resserrée.
Cherchons présentement la valeur de la double intégrale
ffuP{ï'-u)'fsP'{i--s)^'dsdu.
La formule ([x) de l'article XXIII donne, à très peu près,
fuP{i — u)^ du =:^2t:
en substituant pour u la valeur qui rend a^(i — ■ uy un maximum; or
k6k MÉMOIRE SUR LES PRORABILITÉS.
cette valeur est ^ ; on a donc
ip^^r'*'
En changeant/7 en p' et q en q\ on aura
J sP' (î — s)^' ds = \/2n ^ ^
partant
ip
^çr'^hp'
rruP(l — m)^5'' (l —S)9'dsdu = 271
Si Ton suppose cette quantité égale à A^ on aura pour la probabîHi cherchée P
P«yFv/â7r/ gF 3a»F« \
il ne s'agit plus maintenant que de déterminer les valeurs numérique des différents termes de cette expression, en partant des données pr cédentes. Ces données sont
d'où il est facile de conclure *
logF = â,9767iai,
loge = 3,4457598,
Ioga = 6,5994154
et, par conséquent,
On a ensuite, en portant la précision jusqu'à douze décimales,
logp = 5,4oo5846io947,
log ^ = 5 , 3837 1 665 1 469,
Iog(/? -hq) = 5, 6932625 1 5480,
d'où Ton tire
*^8(jr+^) =74894,9^*59319.
On a pareillement
logp' = 5 , 867837982735, Iog7' = 5,844451080009, log(/>'-4- 7') = 6, 157331932083, d'où l'on tire
iog(-j^y =ïT354Ô, 8676364»
On trouve encore
log(/? H-/?') = 5,995264741371,
log(^ -h g') = 5,973544853243, log(p -H^'-t- 9 -+- 7') = 6,28557o585i6i,
d'où l'on tire
log ( ^f^ ^V""' = Ï8^, 2327801,
On a enfîn
partant
\os( — ^T^ti! — -V"^'' =293586,0527612.
Iog(i-l- |x) = o, 2926769, Iog27r = 0,7981799, ,
log ?L>1^^ =58^,4993272,
log A: = 580745,0942543,
ce qui donne
OPsWres de L. — IX. ^9
donc
Si Ton prend les trois premiers termes de la série, on aura
4io458'
cette valeur de P est un peu trop grande ; mais, comme en ne prenant que les deux premiers termes de la série on aurait une valeur trop petite, il est aisé d'en conclure que la précédente ne peut différer de la véritable de la j\^ partie de sa valeur, en sorte qu'elle est fort approchée : il y a donc plus de quatre cent mille à parier contre un que les naissances des garçons sont plus faciles à Londres qu'à Paris. Ainsi l'on peut regarder comme une chose très probable qu'il existe, dans la première de ces deux villes, une cause de plus que dans la seconde, qui y facilite les naissances des garçons, et qui dépend soit du climat, soit de la nourriture et des mœurs.
Il est facile d'étendre la théorie des articles précédents au cas de trois ou d'un plus grand nombre d'événements simples.
Si l'on nomme, en effet, x la possibilité du premier événement simple, x' celle du deuxième et, par conséquent, i — x — x' celle du troisième; en cherchant, par les méthodes ordinaires, la probabilité de l'événement observé, on aura pour sa valeur une fonction de a?, x' et i — X — x\ multipliée par une constante quelconque. Soit y cette fonction, pour que l'événement observé puisse indiquer d'une manière approchée les possibilités des événements simples, il faut, comme on
dy dy
l'a observé dans l'art. XXII, que — et soient des fonctions de j?
très grandes de l'ordre -? a étant un coefficient d'autant moindre que l'événement observé est plus composé; cela posé, si Ton intègre
Jydocf^ depuis a?'— o jusqu'à a?'= i — ic, on aura pour résultat une fonction de x^ que la méthode de Tart. XXIII donnera par une suite très convergente. Soit u la valeur de j/ en a? qui rend j^ un maximum, X étant supposé constant, et que l'on représente par Y ce maximum, on aura, par Tarticle cité, ^o\xr fydx\ une expression de cette forme
fydx'z=z\)fÔLnih-^i,Z hi.3.5 — ^ H...),
Y, A, A", h^, . . . étant des fonctions de x. La valeur de x qui rend le second membre de cette équation un maximum sera très approchante de la véritable possibilité du premier événement; soit a cette valeur, on aura pour l'expression de la probabilité P que x sera compris dans les limites a — 6 et a -^ 6
/ Ydxih-^i.^ h 1.3.5 — 5 h ... 1
/ Yrfxf /i-hi.3 h 1.3. 5 — j — h ... j
l'intégrale du numérateur étant prise depuis x = a — ^ jusqu'à a? = a-f-6, et celle du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à a: = i; oron déterminera facilement ces intégrales par la méthode de l'art. XXIII.
La valeur a se détermine en égalant à zéro la différence de
Yf A -+- 1.3^^ f- ...], ce qui donne
^adh" -. an -h I . o -f- . . •
(Pi 2
-y- est, par la supposition, une quantité très grande de l'ordre -; négligeant donc, vis-à-vis d'elle, la quantité
en
,, 5 ûc dh' a A -f- 1 . 3
on aura, pour déterminer a, l'équation
Or on a
dx dx dx' dx
en substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de x\ sa valeur ii en a?; mais cette valeur rend nulle la quantité j^: on aura donc les deux équations
dx dx^
Il suit de là que a est, aux quantités près de Tordre a, la valeur de x qui rend y un maximum, en faisant varier à la fois a; et a/; on peut donc prendre, sans erreur sensible, la valeur de x correspondante à ce maximum, pour la possibilité du premier événement simple, et il est clair que Ton peut faire des remarques analogues sur les possibilités des deux autres événements simples.
Supposons, par exemple, qu'il y ait dans une urne une infinité de boules blanches, rouges et noires, dans une proportion inconnue, et que sur le nombre/? -h y h- r de tirages on ait amené/? boules blanches, q boules rouges et r boules noires; en nommant x la facilité d'amener une boule blanche, x* celle d'amener une boule rouge et, par conséquent, i — x — xf celle d'amener une boule noire, on aura, pour la probabilité de l'événement observé.
Dans ce cas particulier,
y =r xPx'^Hl — J? — x'Yf
r j , f .2.3. . .<7. 1 .2.3. • .r , •^ '^ 1 .2.3. . .(^H- r-hi) ^ ' '
la valeur de or qui rend fy dx un maximum est ; cette frac-
tion est conséquemment la valeur la plus probable de x. Lorsque /i, q et r sont de grands nombres, elle se réduit à trës peu prës à celle-ci
qui correspond au maximum dey.
Jusqu'ici nous avons supposé la loi de possibilité des événements simples constante depuis zéro jusqu'à Tunité» et cette supposition est, comme nous l'avons observé dans l'article XYII, la seule que l'on doive adopter, lorsqu'on n'a aucune donnée relativement à ces possibilités; mais, si leur loi était exactement connue, on pourrait encore y appliquer les recherches précédentes. Pour cela, ne considérons que deux événements simples, et nommons x la possibilité du premier et I — 07 celle du second; on calculera la probabilité de l'événement observé, en partant de ces possibilités, et l'on aura pour son expression une fonction de a:, que nous désignerons par y; si l'on représente ensuite par i^ la facilité de la possibilité x du premier événement, u étant fonction de a?, et par s la facilité de la possibilité i — a?
du second événement, on aura, par l'article XV, "^-^ ^ pour la pro-
l usy dx
habilité que l'événement observé est dû aux possibilités a: et i — a?, l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x = \\ donc, si l'on nomme P la probabilité que la valeur de x est comprise dans des limites données, on aura
Çusydx
J usydx
pourvu que l'intégrale du numérateur ne soit prise que dans l'étendue de ces limites. On voit ainsi que ce cas rentre dans ceux que nous avons considérés dans les articles précédents, et que la valeur de P se déterminera facilement par la méthode de ces articles.
La valeur de x qui rend usy un maximum sera très approchante de la véritable, si l'événement observé est trës composé et si l'on a
VIO MÉMOIRE SUR LES PROBABii.t^^^
ydx^oLzdy^ a étant un coefficient très petit; or on a, en égalant à zéro la différentielle de usy^
dius) dv us y
partant
« OL d(us) I
o zi; h -.
