Kr

j'= sinA'rj '/?-f- / [M -4- a(c>/? 4- *c»7-+- *c/> H- »C7 )-f-...]

Pf Çf *p et *q étant les quatre cohstantes arbitraires des valeurs de y^ y\ ^ G^ -^^ lorsque / = o; de là on tirera par la méthode de l'article cité les quatre équations

^ =:K H- «(a/? + ^aq -y-*a^p-h^a^g) -+-«*(*«/>*-+-. ..) + ..., ■^ =R -h (x(bg -i- ^bp -^^b^g-^^b^p) -^ of}{^bg^-^, . ,) -h.. .,

^z=^ -^(x{e^g-\-^e^P'h*eg -H'c/?)4-

Pour intégrer ces équations, on fera

p = r -ha(/r-h75-+-yr,H-»/yi)H-a(yr 4-. ..)+.•» */?==*/• 4- a(/w */•-+-. ..)-+-•• •»

En substituant ces valeurs àt p, q, ^p, ^q dans les quatre équations précédentes, on formera, par la méthode du même article, quatre équations linéaires entre r, 5, V et ^s\ d'où Ton aura, comme dans Tarticle cité, les valeurs de j^ et y\ après le temps quelconque T, aux quantités près de l'ordre a'*^*.

La méthode précédente d'intégrer par approximation les équations différentielles, en faisant varier les constantes arbitraires des intégrales approchées, est, si je ne me trompe, très féconde dans l'Analyse; pour en donner un usage fort étendu, je suppose que l'on ait une équation différentielle d^un ordre quelconque, entre z, t,p, q, ...^ dt étant supposé constant, et /?, ^, ... étant des quantités qui croissent fort lentement; on intégrera d'abord cette équation^ en regardant p ei q comme constants; je suppose que l'intégrale soit

a, 6, . . . étant des constantes arbitraires dépendantes des valeurs de ;;,

^> -j^f •••à l'origine de l'intégrale que je fixe lorsque / = A. Cette

valeur de z pourra être employée, sans erreur sensible, pour une valeur de / fort grande; car, les variations de p, q, ... étant supposées de l'ordre a, si l'on regarde a comme infiniment petit, il faut supposer à / une valeur infinie, pour que les quantités qu'on néglige, en regardant/>, qf ... comme constants, puissent devenir sensibles; mais, lorsque t est infini, ces quantités peuvent être finies; ainsi le problème qu'il s'agit de résoudre est d'avoir une expression de z telle, que les quantités de l'ordre a qu'on y néglige ne puissent devenir finies, après une valeur de t infiniment grande.

Pour cela, je suppose / = A h- T, T étant extrêmement grand, mais tel cependant que, dans cet intervalle, les valeurs de ;i, y, . . . soient encore peu sensibles; on peut faire usage de l'expression

depuis t = h jusqu'à i = h-^T. Si l'on voulait avoir la valeur de z pour un intervalle plus considérable, par exemple lorsque / = A -f- T -h /, , on aurait

5 = cp(/n-T-h ^1,/?', ^', . . .; a', 6', . . .)>

p\ q\ ... ; a', h\ ... étant ce que deviennent /i, y, ... ; a, 6, ... après l'intervalle T; cette nouvelle valeur de z peut être employée sans erreur sensible depuis /, == o jusqu'à /, = T', T' étant tel que, dans cet intervalle, les variations de /?, y, . . . soient encore fort petites; en continuant d'opérer ainsi et prenant les valeurs de 5 : i® depuis / = A jusqu'à / = A 4- T ; 2*> depuis r = A 4- T jusqu'à / = A -+- T -h T'; 3*> depuis / = A + T -h T' jusqu'à / = A -+- T 4- T'-f- T'', etc., on aura l'expression de :; pour une valeur quelconque de /; mais il faut, à chaque opération, déterminer les nouvelles constantes arbitraires a\ b\ ...; a"^ h", ... qu'elle introduit; or, de la même manière que les constantes ar-

dz d} z

traires a, i, ... se déterminent au moyen des valeurs de 5, ^> -^y • • • >

lorsque / = A, de même, les constantes arbitraires a\ b\ ... doivent se déterminer au moyen de ces valeurs, lorsque ^ = A -+- T; soit donc

d}z dt^

On aura, à la fin de l'intervalle compris entre t = h et/ = A + T,

dt d^z

= 9'(A-hT,/>,^, ...;a,by ...).

et, au commencement de Tintervalle compris entre / — A-f-T et

Ces valeurs de s, ^^ ••• sont les mêmes à la fin du premier intervalle qu'au commencement du second; on aura donc les équations

/ 9(/t-hT, /?,7, ..,\a,b, ...) = ? (^* -H T,/?', 7', ...;«', ^', ...), (<y) \ <p'( A -+- T, /?, 7, . . . ; a, ^, . . . ) = ?'(^ -I- T, p\ q\ ... ; a', 6', . . . ),

Si p^ q^ .. : étaient invariables, on aurait

soit donc

S/7, Iq, ... étant des quantités extrêmement petites de Tordre a; soit, de plus,

a'=a-hia, b'=^ b -h db, ...,

Sa, Sô, ... seront de Tordre S/?, Sy, ... ; les équations (a) donneront, cela posé, en négligeant les quantités de Tordre S/?^,

^ dz ^ dz , ' . % àz y.ôz

d/? ^ c^7 aa ob

les quantités ^> ^> •••; g^> ••• représentent les coefficients de dp^ dq^ ...; da, . . . dans la difierentiation de :; en y faisant varier p,q, ...;

Maintenant, si i*on différentie les équations précédentes, en négli géant les quantités de l'ordre a^, et observant que

ddp=^ dpy diq ^=^ dq, ... ; dia=z da, . . . ,

la première donnera

dp dz dq dz da dz db dz

Mais on a

dp dz dq dz ^ ^ da dz ^^ db dz

donc

dt dp dt dq dl da dt db

On trouvera de la même manière

dp d*z dq d^z da d^z db d^z

^^ dt dpdt "^ di dqdt "^ ' ' "^ 57 dadt "^ di dbdt

et ainsi de suite; on formera autant de ces équations qu'il y a d'arbitraires a, b, ... et, en les intégrant, on aura les valeurs de ces constantes arbitraires. On peut observer que, dans ces équations, la supposition de a infiniment petit permet de supposer / infiniment grand, ce qui simplifie le calcul dans un grand nombre de circonstances.

On peut parvenir encore à ces mêmes équations de la manière suivante.

Je suppose que l'équation

au lieu d'être l'intégrale approchée de l'équation différentielle proposée, en soit l'intégrale complète, il est visible que a, 6, ... ne seront plus constants, mais qu'ils varieront avec/?, q^ ... dans un rapport qu'il s'agit de déterminer. Je suppose donc, comme ci-dessus, que, lorsque/7, 7, . . . croissent depuis l'origine de l'intégrale des quantités

^p^ Bçf ...f Of bf . .. croissent des quantités $a, £6, ... ; Bp^ ^, . . . , Sa, Sb, . . . étant extrêmement petits; on aura, comme Ton sait, en né-^ gligeant les quantités de l'ordre S^,

-5= ?('>/^>7> . . .>ûr, 6, . ,.)-\-ip

p^q^ ...^a^b^ ... étant les valeurs de/?, 9, . . . , a, 6, . . . à Torigine de rintégrale; en regardant conséquemment /?, 9, ...,a, 6, ... comme constants, on néglige, dans l'expression de z^ la quantité

^ dz ^ dz ^ ôz y. dz

op-z — hoq -z — h . . . -h oa -T — \-oo -jT- -h

dp aq ôa au

Faisant donc en sorte que cette erreur soit nulle, on aura l'équation

y dz y dz % dz

^ dp ^ dq da

la même que nous avons trouvée précédemment. En raisonnant sur les

valeurs de 3^> ^rr» •• • comme nous venons de le faire sur celle de 5, dt dt^

nous aurons les autres équations.

Exemple. — Je suppose que l'on veuille intégrer l'équation diflerentîello

p étant une quantité croissant très lentement, et telle que l'on ait

^=imcos(«/ H-e),

a étant extrêmement petit; j'intègre d'abord cette équation en supposant/i constant, ce qui donne

5 = a ûnpt 4- b cospt;

OBm^res de L. — VUl. 53

et l'on a, par ce qui précède, les deux équations

o =^ {da — btdp) ^mpt -\- (db -\- atdp) cospl,

oz=i{adp -^ pda — pbtdp) cospt — {bdp -\- pdb 'hpatdp)sinpt.

La supposition de / extrêmement grand fait disparaître le terme adpcospt devant —patdpswpt; il peut donc être négligé, ainsi que le terme — bdpsxnpi; on aura ainsi les deux équations

o lin (rfa — btdp) smpt h- (d'/? -+- at dp) cospC^ o =z {da — btdp) cospt — {db -^ atdp) sinpt.

Je multiplie la première par sinpt et la seconde par cospi^ et je les ajoute, ce qui donne

o — c/a — bjtdp;

je multiplie ensuite la seconde par sinpt et je la retranche de la première multipliée par cospt, ce qui donne

o^=db -h atdp;

soit tdp = d$, on aura

oz=ida — bdSj o--zzdb-\- adSy

d'où l'on tire, en intégrant,

/et (3 étant deux constantes arbitraires; donc

5=:/sin(5H-Bj)sin/?^ -f-/cos(5 h-gj) cos;>^ =/cos(/?^ — 5 — cj);

s^=Jtdp=zpt—Jpdt=zpt sin(a^ + «);

donc

z=:fcos — GJH sin(a^-+-£) :

c'est l'expression de z, en négligeant les quantités de l'ordre a qui restent toujours fort petites, quel que soit le temps /.

- A/y)Uc€UÙ)n de la méthode précédente à la théorie des planètes.

La partie la plus délicate de cette importante théorie est la détermination des inégalités séculaires du mouvement des planètes» et, malgré les savantes recherches des premiers géomètres de ce siècle sur cet objet, il faut convenir qu'elle laisse beaucoup à désirer encore.

M. de Lagrange est le premier qui ait envisagé cette matière sous son véritable point de vue, dans sa belle pièce Sur les inégalités des satellites de Jupiter et dans sa Théorie de Jupiter et de Saturne; la méthode qu'il a employée pour cela est un chef-d'œuvre d'analyse, et l'excellent Mémoire qu'il vient de donner Sur les variations du mouvement des nœuds des planètes et de l'inclinaison de leurs orbites renferme la théorie la plus générale et la plus simple de ces variations; mais toutes les autres inégalités séculaires, et surtout celle du moyen mouvement et de la moyenne distance, n'avaient point encore été déterminées avec l'exactitude et la généralité qu'on peut désirer, au moins jusqu'au moment où je donnai, sur cet objet, mes recherches, dans lesquelles j'ai prouvé que les moyens mouvements des planètes et leurs moyennes distances au Soleil sont invariables {voir le tome VII des Savants étrangers) (*). Je me propose ici de considérer toutes les inégalités, tant périodiques que séculaires, du mouvement de ces corps; on verra avec quelle facilité la méthode précédente donne ces inégalités, et j'ose me flatter que cette discussion intéressera les géomètres par sa généralité, et surtout par l'exactitude des résultats.

Du mouvement d'un point sollicité par des forces quelconques.

Je suppose ici toutes les parties d'un corps réunies à son centre de gravité; pour en déterminer la position dans l'espace, je prends, sur an plan fixe, deux droites perpendiculaires entre elles, et qui se croisent dans un point que je nomme S; Tune sera ce que j'appelle

{}) Œwres de Laplace, T. Vm, p. a58.

i20 RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

dxe des x, et l'autre axe des y; soit de plus z la distance du corps à ce plan, sa position sera déterminée par les trois coordonnées x^y etz; cela posé, si Ton réduit toutes les forces dont il est animé à trois autres parallèles aux axes des x^ des y et des s; que Ton nomme ^ la première, ^' la seconde et ^^ la troisième, on aura, en prenant Télément di du temps pour constant, et supposant que les forces vp, 4»' et ^^ tendent à augmenter les a?, les y et les Sj

(i) d*xz=zi\i dt^,

(2) dy = ^dt\

(3) d*z=^'dt\

Maintenant, par l'origine S des x et des y je mène au point de projection du corps sur le plan fixe une droite que je représente par r, et que dans la suite je nommerai rayon vecteur; je nomme ensuite 9 Tangle formé par cette droite et par l'axe des a?, et s la tangente de la latitude du corps vu du point S; on aura

/ = /sin9, z ^=zrs;

partant,

d*x=^d*rcos<^ -— 2 c^r t/cp sin 9 — rc^<p sin9 — rc^9*cos9, d^y = d* r sin(p -\- 2 dr d^ COS9 -4- r c?* 9 cos 9 — r 6^9* sin 9, d^z =: rd^s '^2dsdr-^sd*r,

Or, si l'on suppose que l'axe des x soit infiniment près de la droite r,

on aura

9 = 0, sin 9 = 0, cos9 = i,

partant,

d^x=zd*r — rc/9', cPy =: r rf* 9 -h 2 c/r t/9 ;

les équations (i), (2) et (3) deviendront conséquemment

(4) d^r-^rd^^— ^J;rfr*=o,

(5) rrf*9--h 2drd^— ^'ûf/* = o,

/ i? X M 2dsdr d*r ^L' , .

(6) d^^-\ \-s -^dl*=o;

ET SUR LE SYSTÈME DU MONDE. Ml

mais il faut observer qu'alors la force '^ est parallèle à r et tend à Taugmenter, et que la force ^' est perpendiculaire à cette droite et tend à augmenter l'angle <p; or, comme les équations précédentes ne renferment que les différentielles de cet angle, on peut en fixer où Ton vQudra Torigine sur le plan fixe.

Si Ton multiplie l'équation (5) par r, et qu'on l'intègre, on aura

'J^=c-^f^'rdt,

c étant une constante arbitraire; donc

f^'rdt

dt r

l'équation (4) deviendra, en y substituant cette valeur de -^y

et si dans l'équation (6) on substitue, au lieu de d^r, sa valeur tirée de l'équation (8), on aura

au moyen des équations (7), (8) et (9), on déterminera le mouvement du corps dans l'espace.

Je suppose qu'au lieu de dt on veuille prendre ^9 pour constant, on mettra l'équation (5) sous cette forme

si l'on multiplie cette équation par 2r*, le premier membre devient intégrable, et l'on a

4i2 RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

h étant une constante arbitraire; donc

dt=^

^h^-h'ij'r^^'d^

ensuite Téquation (4) donne

dt dt ^ '

en substituant, au lieu de dt, sa valeur, et faisant- = //, on aura

i» i ,,du

^ — I ih' —

d*u u^ u* ^ do

L'équation (6) donnera, par un procédé semblable, en y faisant - = w, et en y substituant, au lieu de d^u, sa valeur tirée de Téquation précédente,

Du mouvement des planètes autour du Soleil, en négligeant

leur action les unes sur les autres.

Je suppose un nombre indéfini de planètes P, F, P^ . . . circulantes autour du Soleil, et que Ton néglige leur action les unes sur les autres; soit S la masse du Soleil, et concevons cet astre immobile au point S; si Ton transporte en sens contraire à la planète P son action sur le

Soleil, elle sera sollicitée vers S par une force éjralc à ,, "^ — r^, d'oii

Ton lire

,, , (S-hP)M« , ,, (S-f-P)5««

on aura ainsi les trois équations

, r^dm (Pu (S-hP) d*s

dt =z — r-i- , -j— -h u ^^ '— =z o, 3-, -+- ^ = o-

- — 2 étant le petit secteur décrit par le rayon vecteur r, durant Télé-

ment du temps dt\ la première de ces trois équations nous apprend que les aires décrites par les rayons vecteurs sont proportionnelles aux temps; la troisième équation donne, en l'intégrant,

5=:ay sin(9 -Hcr),

ay et o étant deux constantes arbitraires; et la seconde donne

m et e étant constants et arbitraires. L'expression de s montre que l'orbite est dans un plan invariable, dont la tangente d'inclinaison au plan fixe est ay, ce qui d'ailleurs est visible. Je suppose donc que le plan fixe soit celui de cette orbite, on aura s = o elocy = o; donc

— Tï h m cos ( 9 -h e )

ttais si l'on nomme a le demi^and axe d'une ellipse, olôu son excentricité, r le rayon vecteur mené d'un des foyers à la courbe^ 9 + e l'angle compris entre le rayon vecteur et la plus grande des deux parties du grand axe divisé inégalement par le foyer, on a, comme l'on sait,

I — a^cos((p -h £)*

d'où, en comparant cette expression de r à la précédente, on aura

m =-7—^ — n et ^ — «=«(* — ««);

k^k RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

partant,

Si l'on reprend l'équation rf/= ""T^* ^^ nommant T le temps d'une révolution entière de P» et E la surface de l'ellipse que décrit cette pla-

nëte, on aura T = -j-; mais, si l'on désigne par u le rapport de la demicirconférence au rayon, on a

donc, si, dans l'expression de T, on substitue au lieu de E et de A leurs valeurs, on aura

v/sTp

En négligeant? par rapport à S, on a

et en marquant d'un, de doux, etc. traits relativement à P', P", ... les quantités T et a, on aura

Donc

Soit nt le moyen mouvement de P autour du Soleil, en sorte que l'on ait f égal k nt, plus à une fonction de quantités périodiques, on aura

nT=:36o«=:a7r;

donc, puisque

v/sn>

on aura

a' et

ET SUR LE SYSTÈME DU MONDE. k^

partant»

. hdt ndt - . .^,

^9=~T = ^[i-aecos(9-^e)]*.

Pour déterminer (p en t, je suppose l'origine des angles (f et ni k l'aphélie, en sorte que la planète parte de ce point au premier instant de son mouvement, on aura e = o; soit

cp = /i^ H- as -t- «'5' 4- . . . ,

on aura, en réduisant cos(ç-j-£) ou cos(/i/ -hajs h- a^s'-i-...) et j en suites ascendantes par rapport à a,

d<^ z= n dt -h a dz -h a^ dz' -h . . .

z=zndt{i — 2aecos/i^-f- aa'e'-h. . . -f- lot^ez^mnt h cosa/i/).

De là je conclus, en comparant ensemble les termes de Tordre a, ceux de Tordre a^, . . . ,

dz ■=. — 2endt cos nt.

'z'=ndt(2e*

-h lez %\wnt H cosa/2^ ),

En intégrant ces équations et faisant en sorte que z, z\ ... soient nuls avec /, on aura

z zzi — ae sin/i^, 5'zz:|e'sin2/ir,

donc

(D-=z nt — 2aesin/i^H-|a*e*sin2/ii -h. . . .

Pour déterminer présentement r en /, j'obseWe que Téquation dt = '^—r^ donne

(i — aaccosn^-f- |a*e*cos2/i^ -h. . .)'

fc26 RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

d'où je conclus

r=:a{ iH h aecos nt cos2 nt -h. . . )-

Si, lorsque / = o, la planète, au lieu d'être à son aphélie, était plus avancée de la quantité e, en nommant 6 l'anomalie moyenne correspondante à l'anomalie vraie e, on a, par ce qui précède,

9 = 9-+- /!/ — 2aesin(/i^-+- (?) -h{a*e*sin2(n^-h 6) -h. . .,

et si la ligne fixe d'où l'on commence à compter l'angle 9, au lieu d'être sur la ligne des apsides, est moins avancée que l'aphélie d'un certain angle I, en sorte que I soit la longitude de Taphélie, on a

9=:Ih- Ô4- n/ — aaesin(/i^-i- 9)-t-{-a*e'sin(a/i/4-2 0) H-. . .

rr=: a iH h aecos(/i/ -i- (?) C0S(2/l/ H- 2^) -H. . . I.

Je suppose maintenant que l'on veuille rapporter le mouvement de la planète à un autre plan très peu incliné à celui de son orbite, et passant par le centre du Soleil; je nomme '9 et V la longitude de la planète et son rayon vecteur dans l'orbite réelle, et 9 et r ces quantités dans l'orbite projetée ; les expressions que nous venons de trouver pour 9 et r, se rapportant à l'orbite réelle, sont les valeurs de *9 et de V; il faut présentement en conclure 9 et r en t.

Pour cela, je fixe l'origine de 9 et de *9 sur la ligne des nœuds; on a

Vcos*9== rcos9; de plus,

et nous avons trouvé précédemment

soit

pétant nécessairement fort petit; l'équation Vcos '9 = rcosç donnera

v/i -h 5* cos *<p — ces ( *9 H- <7 ) ;

donc, en négligeant le carré de q et la quatrième puissance de s, on aura

on peut supposer, dans cette équation, *<p = 9, et en y substituant, au lieu de sino, sa valeur — > on aura

<7 == — ^ <xy5COS9 -- — * ^*y' sina9;

si Ton néglige les quantités de Tordre aS on peut supposer dans cette équation 9 = /i/ h- cr, cr étant la distance moyenne de la planète à son nœud, lorsque / = o ; donc

9=:*9 — |a*y*sin(2«^-h anj) = 1-1-0-4-/1/ — 2 aesin(/l/ -h 0) -f-. . , — \ a* y^ sïn (2 nt -h anr);

1 exprime ici la distance entre l'aphélie de la planète et le nœud de son orbite; soit L la -projection de cet angle, ou, ce qui revient au même, la distance entre le nœud et la projection de l'aphélie, on aura, par ce qu'on vient de voir,

supposons ensuite que, au lieu de fixer l'origine de 9 sur la ligne des nœuds, on la fixe sur une droite moins avancée de l'angle H, en sorte que la longitude du nœud soit H, on aura

9 = H H- L -1- J a*y* sin a L -h 6 -h n/ — 2 «e sin ( n/ -h 6)

Je fais, pour abréger,