cosA(T 4- rO { 4- ^î ['H4- ] 1 -^ R

p' et q' étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen

des valeurs de y, de -^-y lorsque /, = o, R' étant ce que devient R,

lorsqu'on y change/? en/i', q en y' et / en z^, excepté sous les sinus et les cosinus, où il faut écrire T 4- /, au lieu de /; si l'on compare maintenant les deux valeurs précédentes de 7, on aura, en observant que

/ =: T + l| et égalant séparément les coefficients de sin A^ et de cosA^

; /? 4- (T 4- £,) [K -h (x(ap -+- »a^) -h. . .] 4- (T -+- ^i)*[*R -H . . .]

=/?'-+- r, [K-ha(a/>'-4-*a^') -h. . .] -4- ^Î[*K 4-. . .]

çr H- (T H- f,) [H H- a (^>7 4- »^/>) -h. . .] -f- (T 4- ^,)^[«H -H. . .]

Je fais dans ces deux équations t^ = o, et j'observe que Ton a

^dp T» d}p

-,dp T» d'q

Substituant ces valeurs dep' et de q\ dans les deux équations précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par T, les deux suivantes :

[h) ^ = K 4-a(a/>4-*a9')4- CK}{'ap^-^^apq ^^^aq^) 4- a' ( *ûf/?' 4- . ..)-\-..., (h') ^==H4-a(/>^4-*ô/>)4-a*(«V-+-'^/>7-+-*^/>')-+-a'('^7*-^-)-H...;

il ne s'agit donc plus que d'intégrer ces deux équations; or voici, pour cela, la méthode qui m'a paru la plus simple. Soit

/> = r4-a(//-^4-7r5 4-V5») 4- a'(y/-'4-. . .) -H. . ., q:=is '\- (xigs^ ^^grs^^gr^) 4- a*(^^5=^4-. ..) 4-. ..;

en différentiant, on aura

dq ds r , .s T dr ^ .

substituant, au lieu de p, q, ^> ^> ••• ces valeurs dans les équations (Ji) et (A'), on aura deux équations de cette forme

= H4- (x{bs->r^br) -\- (x^{ns*-^. ..)■+■

Je multiplie la première par le coefficient de ^ de la seconde, et la

seconde par le coefficient de ^ de la première, et je les retranche Tune de l'autre, ce qui donne une équation de cette forme

dr

En divisant cette équation par i -h (x(cr -h c, 5) -h ... , et réduisant le second membre dans une suite ascendante par rapport à a, en ne portant la précision que jusqu'aux quantités de Tordre a" inclusivement, on aura une équation de cette forme

On aura, par un procédé entièrement semblable, une autre équation de cette forme

^ = N -+- aCks-h'lr) 4- a»(*)l.ç«4-»Xr5 4-*Xr*) 4- ... ;

M, N, 6, *6, ^6, . . ., ^» *X, *X, ... sont fonctions de/, •/, y, . . .♦ 5^, *gf

Maintenant, pour n'avoir que deux équations linéaires, je forme les

suivantes

au moyen desquelles on déterminera /»*/,.-•» g", ^g'f - - - ; comme on porte la précision jusqu'aux quantités de Tordre a'^ inclusivement, il est aisé de voir que ces équations sont au nombre (n — i)(n-H4); mais on peut s'assurer aussi très facilement que le nombre des indéterminées/, */*'••$ gf *gf "' est également (n — i) (n -f- 4); d'où il suit qu'il y a autant d'inconnues que d'équations; cela posé, on aura

^=MH-a(6r-f.«65), ^zzzN4-aa5-+-«Xr),

équations très faciles à intégrer.

Ayant ainsi les valeurs de r et de 5, on conclura aisément celles de p et de q^ et substituant ces valeurs dans l'équation (M") et y supposant /, = o, on aura, aux quantités près de Tordre a""^*, la valeur de j, après le temps quelconque T. Telle est, si je ne me trompe, la méthode la plus générale et la plus directe pour intégrer, par approximation, les équations différentielles.

En supposant, dans les équations (/) et (/')» ^ = o» et en y substituant au lieu de />', p -h T ^ -^ . . . , et au lieu deq\ 5^ -•- T ^ -+-...,

on a simplement comparé les termes multipliés par T, et Ton a négligé ceux qui le sont par TS T', ..., ce qui a donné les équations (A) et (A'). Il est en effet visible que les coefficients de T, ceux de P, . . . , doivent être égaux séparément; de là il suit que les valeurs de p et de q, que donnent les équations (h) et (A'), satisfont aux équations qui résulteraient de la comparaison des coefficients de T^, T% ... dans les équations (/) et (/'). Il serait difficile de le démontrer d'une manière directe; mais on voit que cela doit être. Il arrive ici la même chose que dans l'application du Calcul infinitésimal, où Ton néglige les quantités infiniment petites d*un ordre supérieur à celles que Ton compare, bien certain que les équations auxquelles on parvient satisferaient aux équations résultantes de la comparaison des ordres supérieurs.

Jusqu'ici, je n'ai considéré que les équations différentielles à deux variables; celles que j'ai intégrées dans l'article I sont fort simples, et par cette raison elles étaient propres à faire entendre cette nouvelle méthode; mais les suivantes, qui, traitées par les méthodes déjà con* nqes, conduiraient à des calculs impraticables, en feront sentir l'avantage, par la facilité avec laquelle elle donne leurs intégrales approchées; comme ces équations sont à peu près du même genre que celles du mouvement des planètes, je vais les considérer ici avec étendue.

Je suppose que l'on ait entre les n variables j, y\ y'\ ...».y" les n équations

(0)jK -1-2(0,1) y cOS{q'-'q)t \

d\v dt'

~\-q^ y —'xaq

(0,1) dY' . / , 2 (0,2) y" cosC^"— 7)^ >»

(0,2) dy* . , „ . ,

(il*

= ■îctq'

(i)/+2(i,o) y co%{q —q')t\

q')t 2 (1,9) y' COs{q'—q')t >»

(1,0) dy

(1,2) dy . , ,

•+-2 ^^ — ~ -Tr-sm(<7'-

dl

dl^

(o), (0,1), (0,1), (0,2), (0,2), ..., (i), (1,0), ..., (2), ... étant des coefficients constants quelconques.

J'intègre d'abord les équations

dC

dt'

ce qui donne

h^h\ ...; l^ f^ ... étant des constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de y, ■—> y, -^> • • m lorsque / = o.

dt' ^ ' dt

Je fais ensuite

y =^h îXnqt -4- / cos^^ -t- «5,

y=r A'sinç'^-4- /'cos^'/-ha5',

Je substitue ces valeurs dans les équations Ç¥), en négligeant les quantités de Tordre a^; elles donnent

— -^q^z = 2q %mqt \ {o)h -+- A'[(o,i ) - (o,i)] -+- ^''[(o,^) — (0,2)] H-. . . j

-h2qcosqt\{o)l -hl' [(0,0 — (Ô^ÔlH-r [(0,2) — (0,2)] -h . . . [ -^[(Oji) ■^(Ofi)]2q[h' s\n{2q'— q)t -h l'cos{2q'— q)e]

On formera des équations analogues pour s\ z'\ . . .; on aui*a donc, en intégrant et ajoutant olz à la valeur précédente de j,

y=\h^ <xt[{o)l -+- /' [(0,1) - (0,1)] H- l" [(0,2) - (o,2)J H- . . .) ! siiuy^ ^- I / — (xt[{o)h -h /*'[(o,i) — (0,1)] -+- A''[(o,2) — (0,2)] + . . .) I cos^<

Si Ton suppose maintenant, dans les équations (W), / = T -f- /< et qu'on les intègre, on trouvera facilement

jr = j îA H- at,{{o)U + '/' [(0,1) - Ôm")] -h'/' [(0,2) - (5;7)] -f- . . Oj sinçr(T -^ ^)

I *^ - a^i((o)>A-+-Vi'[(o,i) - (0,1)] + *A''[(o,2) - (0,2)] -f-. . .)icos^(T -h ^) (V) {

Œm^eê de L, ^ vin. 5o

39i^ RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

*A, 7, *Â', */', . . . étant des constantes arbitraires dépendantes des valeurs de y, -j-i y y -j-y • • • lorsque t^ = o\ or, si Ton avait a = o, on

aurait *h= h^ V= /, *h'= h\ ...; donc *h ne diffère de A, */de /, ... que de quantités de l'ordre a; soit donc *h = h-h SA, 7= /-f- S/, . . ., et Ton aura, en comparant les équations (X) et(X') et en négligeant les quantités de Tordre a^,

o7 ziz- «T j {o)h ^ A'[(o,i) - KO] 4- A'[(o,2) - (^)] -^. . . j ,

aA= «Tj(0)/ -4-/' [(0,i)-{Ô;Ô]-+-/'[(0,2)-Ô^]H-...J.

Soit aT = a;; A et / seront, comme l'on voit, fonctions de or, et Ton aura

dx 1.2 dx^

dx 1 . 2 ax'

donc, en comparant les termes multipliés para?, on aura ji

on trouvera de la même manière

dh

dl

= (2)rH-/[(a,o)-(2,o)]+/'[(a.i)-(a,i)] + ...,

rf/

Il ne s'agit plus maintenant que d'intégrer ces équations, et pour cela on fera, ainsi que M. de Lagrange Ta pratiqué dans un cas à peu près semblable (voir son excellente pièce Sur le mouvement des nœuds

et l'inclincùson des orbites des planètes),

h=.b s\n{fx-\-x3), l^=b cos{/x-i- m), A'=6'sin(/:r + BJ), /'= 6'cos(/a; + ni),

et l'on aura les n équations

OU

De ces équations on en tirera une en /; les géomètres ont donné pour cet objet des règles générales {voir V Introduction à l'analyse des lignes courbes, de M. Cramer, et les Mémoires de V Académie ^oxxr Tannée 1764, p. 292); mais comme elles ne me paraissent avoir été jusqu'ici démontrées que par induction, et que d'ailleurs elles sont impraticables, pour peu que le nombre des équations soit considérable, je vais reprendre de nouveau cette matière, et donner quelques procédés plus simples que ceux qui sont déjà connus, pour éliminer entre un nombre quelconque d'équations du premier degré.

Je suppose que Ton ait, entre les n inconnues (x, fji', fi.'', ..., les n équations

0 = *afX-f- *6/JL'-h *C/JL'-f-. . .,

o •=! 'afx -I- •6|jl'h- ^cy."-^ . . . ,

les nombres i, 2, 3, ..• placés à gauche des lettres a, 6, c, ... étant ce que je nommerai dans la suite indices de ces lettres. On déterminera ainsi l'équation de condition qui doit avoir lieu entre les quantités *a, '6, *Cy ...; *a, *è, ...; ^a^ ... pour que les équations précédentes soient possibles.

Lorsque dans un produit tel que ^d^c^b^a^ dont les indices suivent la loi des nombres naturels i, 2, 3« 4» une lettre telle que b précède une autre lettre dont elle est précédée dans Tordre de l'alphabet, j'appelle cela variation, et un terme a d'autant plus de variations que cela peut arriver de plus de manières ; par exemple, dans le terme *d^c^b *a, d précède c, 6, a, dont il est précédé dans l'ordre de l'alphabet, ce qui forme trois variations; c précède b et a» ce qui donne deux variations, et b précède a, d'où résulte une variation; ainsi ce terme renferme, six variations; cela posé, formez toutes les permutations possibles entre toutes les lettres a, 6, c, rf, e, . . ., et, dans chaque permutation, donnez l'indice i à la première lettre, l'indice 2 à la deuxième, l'indice 3 a la troisième, etc.; ensuite faites précéder chaque permutation du signe -h si le nombre des variations y est nul ou pair, et du signe — si ce nombre est impair; en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l'équation de condition demandée.

Cette règle est due à M. Cramer, mais elle peut être simplifiée par le procédé suivant, que M. Bezout a donné dans l'endroit cité des Mémoires de l'Académie.

Ecrivez la lettre a, et avec cette lettre et la lettre b formez toutes les permutations possibles, en écrivant d'abord la lettre b la dernière, ensuite l'avant-dernière, et changeant de signe lorsque b change de place, et vous aurez

-h ab, — ba.

Avec ces deux permutations et la lettre c, formez toutes les permutations possibles, en écrivant d'abord dans chaque terme la lettre c la dernière, ensuite l'avant-dernière, et ainsi de suite; et changeant de signe toutes les fois que c change de place, et vous aurez

-+- abc, — acb, -4- cab, — bac, 4- bca, — cba.

Combinez de la même manière toutes ces permutations avec la lettre d^ et ainsi de suite, en employant autant de lettres qu'il y a d'inconnues (Xy (x^ . • .; cela posé, donnez dans chaque terme l'indice i à la première lettre, l'indice 2 à la seconde, l'indice 3 à la troisième, etc., en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l'équation de condition demandée.

Cette règle est, comme l'on voit, d'un usage fort commode, et il est facile de s'assurer qu'elle retombe dans celle de M. Cramer. Cela est d*abord évident pour les deux permutations + a6, — 6a; si on les combine présentement ave£ la lettre c, il est aisé de voir qu'en écrivant dans ces deux termes la lettre c la dernière, le nombre des variations dans chacun d'eux ne changera pas, aussi conservent-ils le même signe qu'ils avaient; mais si, dans ces termes, on écrit la lettre cTavantdernière, le nombre de leurs variations est alors augmenté d'une unité, et, suivant la règle, ils changent de signe; d'où il suit généralement que les termes dont le nombre des variations sera zéro ou pair auront le signe 4-, et les autres le signe — . D'ailleurs, le nombre des termes dont l'équation de condition est formée est, suivant les deux méthodes, égal à I. a.3.../i, s'il y a /i lettres; et tous ces termes sont différents les uns des autres; donc l'équation de condition sera la même dans les deux cas. Nous allons présentement démontrer la règle de M. Bezout, comme étant la plus simple.

Si, au lieu de combiner d'abord la lettre a avec la lettre b, ensuite ces deux-ci avec la lettre c, et ainsi de suite, c'est-à-dire si, au lieu de combiner les lettres a, 6, c, d^ e, ... dans l'ordre a, b^c^ d, e, . . ., on les eût combinées dans l'ordre a, c, b, d, e, . . ., ou a, d, b^c, e, . . ., ou a, e.bfC^dt.,., ou etc., je dis qu'on aurait toujours eu la même quantité, à la différence des signes près.

Pour démontrer ce théorème, nommons, en général, résultante la quantité qui résulte de l'une quelconque de ces combinaisons, en sorte que Isl première résultante soit celle qui vient de la combinaison suivant l'ordre a, 6, c, d^ e^ . . ., que la seconde résultante soit celle qui vient de la combinaison suivant l'ordre a, c^ b^ d, e, ..., que la iroi-

sième résultante soit celle qui vient de la combinaison suivant Tordre a^ d.b^c^e, . . ., et ainsi de suite; cela posé, il est clair que toutes ces résultantes renferment le même nombre de termes, et précisément les mêmes, puisqu'elles renferment tous les termes qui peuvent résulter de la combinaison des n lettres a, 6, c, </, e, . . . disposées entre elles de toutes les manières possibles; il ne peut donc y avoir de différence entre deux résultantes que dans les signes de chacun de leurs termes; or, il est visible que la première résultante donne la seconde, si Ton change dans la première 6 en c et, réciproquement, c en 6; mais ce changement augmente ou diminue d'une un^é le nombre des varia* tions de chaque terme; d'où il suit que, dans la seconde résultante, tous les termes dont le nombre des variations est impair auront le signe +, et les autres le signe — ; partant, cette seconde résultante n'est que la première, prise négativement.

Il est visible pareillement que la seconde résultante donnera la troisième, en y changeant c en d, et réciproquement; or, ce changement augmente ou diminue d'une unité le nombre des variations de chaque terme; donc les termes dont le nombre des variations est zéro ou pair dans la troisième résultante auront le signe +, et les autres le signe — ; de là, on conclura généralement que, si l'on nomme R la première résultante, R' la deuxième, R"" la troisième, etc., on aura

Il suit de là que si, dans la première résultante, on change a en 6, et réciproquement, ou a en c, et réciproquement, ou a en d^ et réciproquement, etc., on aura toujours la même résultante, à la différence des signes près; car l'échange de a en 6 et de 6 en a ne signifie autre chose, sinon qu'au lieu de combiner -\- ab — ba^ avec les lettres c, rf, e, . . ., on combine —ab-^ba avec ces mêmes lettres, ce qui donne la première résultante prise en — ; pareillement, l'échange de a en c, et de c en a, indique qu'au lieu de combiner -^-cu: — ca avec les lettres 6, é/, ^, . . ., on combine avec elles — oc -+- oï, ce qui donne la seconde résultante prise en —, ou la première prise en +, et ainsi de suite.

Il suit encore du tbéorëme précédent que, si, dans la première résultante, on écrit 6, ou c, ou d, ou etc. partout où est a, cette résultante sera identiquement nulle; car, je suppose que Ton écrive c au lieu de a, la première résultante est égale, par ce que nous venons de voir, à la troisième, c'est-à-dire à celle qui résulte de la combinaison suivant Tordre a, c, 6, rf, c, . . .; or, en combinant d'abord les deux lettres a et c, on a H- oc — ca; si l'on combine ces deux termes avec la lettre b, ensuite ceux-ci avec la lettre d, etc., il est visible que la quantité qui en résultera deviendra identiquement nulle, en écrivante au lieu de a, parce que, alors, ac — ca devient identiquement nul.

Je suppose maintenant que l'on ait les trois équations

je forme d'abord la résultante des trois lettres a, h, c, suivant Tordre a, 6, c, ce qui donne

la «6 »c — 'a «c »6 + 'c «a »6 — ^6 »a »c H- »ô «c »a — «c '6 'a

OU

je multiplie ensuite la première des équations précédentes par »i »c— *c •è, la deuxième par 'c '6-— *6 *c, la troisième par '6 *c— 'c *6, et je les ajoute ensemble, ce qui donne

-^fJL'['^(«^»C— «c»6)-+-»^>(»c»^— »6»c)-h»^(»6*c — 'c«é>)J -i- il'I'c («6 »c — «c »^^) -+- «c ('c «6 — »6 »c) 4- »c (»ô »c - »c *6)] ;

or, il suit de ce que nous venons de voir que les coefficients de ^' et ^ sont identiquement nuls, puisqu'ils ne sont que la résultante des trois lettres a, 6, c, dans laquelle on écrit b o\x c partout où est a ; donc, on aura, pour Téquation de condition demandée.

c'est-à-dire la résultante de la combinaison des trois lettres a, b^ c, égalée à zéro. On démontrerait la même chose, quel que soit le nombre des équations.

Pour montrer l'analogie de cette matière avec l'élimination des équations du premier degré, je suppose que l'on ait les trois équations

Je multiplie, comme ci-devant, la première par (*6'c— *c'6), la deuxième par (*c'6— '6'c), et la troisième par (*6*c— *c*6), je les ajoute ensemble, et j'observe que les coefficients de [x' et de (x" sont identiquement nuls dans l'équation qui en résulte; d'où je conclus

on voit donc que le numérateur de l'expression de (x se forme du dénominateur, en y changeant a en/?; on aura ensuite (x' ou \l'\ en changeant, dans l'expression de [x,a en 6, ou en c, et réciproquement; mais, en changeant, dans le dénominateur de fx, a en 6, et réciproquement, on a toujours, par ce qui précède, la même quantité, au signe près;

donc la valeur de (x' sera —g > R étant le dénominateur de (x, ou, ce qui

revient au même, la première résultante des trois lettres a^h^ c\ K se formera de — R, en y changeant b enp; partant, — K se formera de R, en y changeant b cnp; donc

ainsi l'expression de fx' est réduite au même dénominateur que celle de (X, et les numérateurs de ces deux expressions se forment du dénominateur commun R, en y changeant a enp pour (x, et 6 en p pour (x'; on démontrerait de la même manière que l'expression de (x'' a R pour dénominateur, et que son numérateur se forme de R, en y changeant

ET SUR LE SYSTÈME DU MONDE. Wl

c en p^ et cette règle a généralement lieu, quel que soit le nombre des équations.

Voici maintenant un procédé fort simple qui peut considérablement abréger le calcul de l'équation de condition, entre les lettres a, />, (/, • • • •

Je suppose que vous ayez deux équations

écrivez -f- ab^ et donnez l'indice i à la première lettre, et l'indice 2 k la seconde; l'équation de condition demandée sera

Je suppose que vous ayez trois équations; écrivez + a6, combinez ce terme avec la lettre c de toutes les manières possibles, en changeant le signe de chaque terme chaque fois que c change de place, vous aurez ainsi

abc — acb.-^- cab;

donnez dans chaque terme l'indice i à la première lettre, l'indice 2 ii la deuxième, l'indice 3 à la troisième, et vous aurez

cela posé, au lieu de -1- *a ^b 'c, écrivez au Heu de — *a*c*b, écrivez et, au lieu de -+- *c*a'6, écrivez l'équation de condition demandée sera

QKMÊ^ret de L. — VUI. 5 1

Je suppose que vous ayez quatre équations; écrivez

-4- abc — acb -+- cab,

et combinez ces trois termes avec la lettre d, en observant : i® de n'admettre que les termes dans lesquels c précède d; 2® de changer de signe dans chaque terme toutes les fois que d change de place, et vous aurez

-h abcd — acbd h- acdb -h cabd — cadb H- cdab ;

donnez ensuite Tindice i à la première lettre, l'indice 2 à la deuxième, etc., et vous aurez

cela posé, au lieu de -\- ^a^b^c^d, écrivez

et ainsi des autres termes, et Téquation de condition sera

Je suppose que vous ayez cinq équations; écrivez les six termes -h abcd — acbd 4- . . . relatifs à quatre équations, et combinez-les avec la lettre e de toutes les manières possibles, en observant de changer de signe chaque fois que e change de place; donnez ensuite l'indice i à la première lettre de chaque terme, l'indice 2 à la deuxième, etc.; cela posé, transformez chacun de ces termes dans un autre suivant la méthode que nous venons de prescrire pour les équations à trois et à quatre inconnues; ainsi, au lieu du terme H- *a*c*6*e*rf, écrivez

en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l'équation de condition demandée.

Lorsqu'on aura six équations, on combinera les termes

abcde — abced

ET SUR LE SYSTÈME DU MONDE. fm

relatifs k cinq équations avec la lettre /, en observant : i^ de n'admettre que les termes dans lesquels e précède /; 2^ de changer de signe lorsque/ change de place; on transformera ensuite, par la règle précédente, chaque terme dans un autre composé du produit des trois facteurs, chacun de deux dimensions et de deux termes, et Ton aura l'équation de condition demandée; il en sera de même pour un nombre quelconque d'équations.

Il est aisé de voir qu'en effectuant les multiplications, les termes qui en résulteraient seraient tous différents les uns des autres, en sorte que, par ce procédé, on n'a aucun terme inutile; on voit d'ailleurs qu'il abrège considérablement le calcul de l'équation de condition. Il faut présentement la démontrer, et, pour cela, nommons (R) l'équation de condition qu'il donne, et R celle qui résulte des méthodes de MM. Cramer et Bezout; nommons de plus dérangements les cas dans lesquels b précède a, où c précède d, où e précède/, etc., en sorte qu'il y ait d'autant plus de dérangements dans un terme que cela y arrive de plus de manières. Cela posé, il est clair, diaprés la formation de (R), que cette quantité renferme tous les termes de R; car (R) renferme : I® toutes les combinaisons possibles entre a, 6, c, . . ., dont le nombre des dérangements est nul; 2^ toutes les combinaisons dont le nombre des dérangements est i; 3^ toutes celles dont le nombre des dérangements est 2, et ainsi de suite; donc (R) renferme tous les termes qui peuvent résulter de la combinaison de n lettres a^ b,c, . . ., et, par conséquent, cette équation renferme les mêmes termes que R. D'ailleurs chaque terme de (R) a le même signe que son correspondant dans R : 1® cela est évident pour les termes dont le nombre des dérangements est zéro, puisqu'ils sont formés de la même manière dans les deux équations; 2^ ceux qui ont un dérangement ont des signes contraires aux premiers, et cela a pareillement lieu dans R, puisqu'on changeant b en a, et réciproquement, ou ^en c, et réciproquement, ou etc., le nombre des variations augmente ou diminue d'une unité, et, partant, le signe de chaque terme est différent; 3^ les termes qui ont deux dérangements ont des signes contraires à ceux qui n'en

Wi RECHERCHES SUR LE CALCUL INTÉGRAL

ont qu'un, ce qui a lieu également pour R» et ainsi de suite; d'où Ton voit que l'équation (R) est identiquement la même que l'équation R. On peut aisément déterminer le nombre des termes de l'équation (R); car, celui de l'équation R étant i.2.3. . .n, si n est pair, chaque terme

de (R) sera le produit de - facteurs de deux termes, ce qui donnera,

après avoir effectué les multiplications, 2^ termes; donc, si l'on nomme

q le nombre des termes de (R), on aura, après les multiplications, qi^ termes qui, comme nous l'avons vu, sont tous diff*érents; partant, (R) étant égale à R, on aura

qi^:= 1 .2.3. . ./l,

donc N

on trouvera par le même raisonnement que, si n est impair, on a

On peut réduire encore de la manière suivante l'équation R en termes composés de facteurs de trois dimensions; pour cela, je désigne par {abc) la quantité

ahc — acb -f- cab — bac -h bca — cba^

et par (ai) la quantité ah — ha, et ainsi de suite; par (*a*6 V), j'indiquerai la quantité {ahc), dans les termes de laquelle on donne i pour indice à la première lettre, a à la deuxième, et 3 à la troisième; par (*a^6), je désignerai la quantité (ai), dans les termes de laquelle on donne i pour indice à la première lettre et 2 à la deuxième; et ainsi de suite.

Je suppose maintenant que vous ayez trois équations, l'équation de condition sera

Je suppose que vous ayez quatre équations; écrivez + abcy et combinez ce terme de toutes les manières possibles avec la lettre d^ en observant de changer de signe lorsque d change de place» ce qui donne

-f- abcd — abdc -\- adbc — dabc;

donnez l'indice i à la première lettre» l'indice 2 à la deuxième, etc.» et vous aurez

au lieu du terme + ^a ^b 'c V, écrivez

au lieu de — *a *6 *rf V, écrivez

et ainsi de suite^ et vous formerez l'équation de condition

Je suppose que vous ayez cinq équations; combinez les termes 4- abcd — abdc-^... relatifs à quatre équations avec la lettre e, en observant : I® de n'admettre que les termes dans lesquels d précède e ; 2® de changer de signe lorsque e change de place, et vous aurez

abcde — abdce -f- abdec

donnez l'indice i à la première lettre» l'indice 2 à la deuxième, etc.» et vous aurez

ensuite, au lieu de -f- *a ^b *c *d *e, écrivez

au lieu de — *a *6 *d V *^» écrivez

et ainsi de suite» et» en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous formerez l'équation de condition demandée. Je suppose que vous ayez six équations» combinez les termes

+ abcde — ... relatifs à cinq équations avec la lettre/, en observant : i® de n'admettre que les termes où e précède/; 2^ de changer de signe lorsque/ change de place; donnez ensuite i pour indice à la première lettre, 2 à la deuxième, etc., et, au lieu d'un terme quelconque tel que *a Vi V ^c •/, écrivez

et ainsi des autres termes, et, en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l'équation de condition demandée.

Si vous avez sept équations, combinez les termes -h abcde/—... relatifs à six équations avec la lettre g^ de toutes les manières possibles; pour huit équations, combinez les termes relatifs à sept avec la lettre h, en n'admettant que les termes dans lesquels g précède A, et ainsi du reste.

On décomposerait de la même manière Téquation R en termes composés de facteurs de 4» de 5, etc. dimensions.

Je reprends maintenant les équations (» de l'article III, et j'observe que l'équation de condition qui en résulte est du degré /i, par rapport à/; car il est aisé de voir, par l'article précédent, qu'elle renfermera le terme

lequel est du degré n par rapport à/, et ce terme est celui qui renferme la plus haute puissance de/. Soient/, % y, ... les /i racines de cette équation de condition; il est visible que, les équations (^) de l'article III étant linéaires, leur intégrale complète sera

h — b sin{fx 4- cy) -i- *6 sin( «/a? -t- »ct) 4- *b 8in( yj? -h *©) 4- . . . , l =b cos(/a?H- BJ) -f- >6 cos( */a? -4- ^m) H- *6 cos ( y^r 4- *cj) -h . . . , h'=z 6'sin(/a?4- ro) 4- 'b'sin{'/x 4- *cj) 4- «ô'sinC «/^ 4- «bj) 4-. . ., /' = 6'cos(/d? 4- BJ) 4-*6'cos( «/a: 4- i^j) -H. . ., h''-.=z b''s\n {fx 4- bt) 4- . . . ,

6, '6, '6, . . .; 6', *b\ . . .: 6", . . .; tzr, 'or, ... étant des constantes arbitraires» telles que b et tzr» b' et gt, é"" et gt, etc. dépendent de la même manière de/, que* 6 et *t3» *6'et*cr, *6"et ^gj, etc. dépendent de %ou que *i et "ter, etc. dépendent de y, et ainsi de suite.

Soient H, H', . . .; L, L', ... les valeurs de A, A', ...;/,/',... à l'origine des intégrales que je suppose commencer avec x^ on aura

H = 6 siniîT4- *6 sin*BT-h'6 sin'cj-+-. . ., H'=i b' sinBJ-f-*6'sin*TiyH-'6'sin*GJ-+-. . .,

L = 6 C0SCJ-+- 'ôcos'gt+'^cos'gt L'=: 6'cosgt-+-*6'cos'gj

On aura ainsi 2/i équations, mais on formera n — i systèmes d'équations semblables à celui des équations (» de l'article III, en prenant successivement, au lieu de/, b, b\ . . ., les quantités */, *6, '6', . . . ou

y, ^6, '6', ... ou y, Si, dans chaque système, on élimine/, */

y, ..., on formera n(n — i) équations entre 6, b\ ...; *6, *b\ ...; '6, ..., lesquelles, étant ajoutées avec les an précédentes, donneront /i* -H n équations entre les n^ -h n indéterminées, gt, *gt, . . . ; 6, 6', . . . ; %*b'

En suivant les méthodes ordinaires d'élimination, on tomberait dans des calculs impraticables; mais M. de Lagrange a donné dans la pièce déjà citée. Sur le mouvement des nœuds et l'inclinaison des orbites des planètes, une très belle méthode pour éliminer dans un cas à peu près semblable; comme elle me parait être ce qu'on peut trouver de plus simple, je vais l'exposer ici en peu de mots, pour dispenser le lecteur de la chercher ailleurs.

Soient

Hi = (o)H 4- H'[(o,i ) - (o,i )] 4- H'[(o,2) - (o,2 )] + . . . ,

H; = (r)H'-HH[(i,o)-(i,o)]4-H'[(i,a)-(i,2)] + ...,

En substituant dans la première de ces équations» au lieu de H, H', . . ., leurs valeurs tirées des équations (F), on aura

H|=: sincj j (o)ô-4- b'[{o,i) — (o,i)] + ^'[(0,2) — (0,2)] 4-. . . |

Or les équations (» de l'article III donnent

(O)^ +^,'[(o,i)-(o,l)]4-...zr/ô,

(o)'^;-h>ô'[(o,i) -(0,1 ;]+...= y tô,

donc

Hi = /6 sinnj -h */ *^ sin*Gj-+-y '6 sin'cj-+- . . . ,

et, de là, on conclura H',, H'^, ..., en marquant d'un, de deux, etc. traits à droite, les lettres 6, *6, . . . de l'expression de H|. Soient pareillement

h, = (o)Hj4-h;[(o,i)-(o,f)]-+-h;[(o,2)-(o,2)]-+-...,

H;=(i)H;-4-H,[(i,o)^(i,o)]-f-HU(i,2)-(i,2)]+...,

et l'on trouvera, de la même manière,

Hi=/*6sinw-hy.*^>sin*cj+y*.*6sin*cT-f-

En continuant d'opérer ainsi, on formera les n équations

H = 6sinBJ4- *6 sin*GJ-h '6sin*GT-h. . ., H, =/ b sincj -f */ 'b sin'cj-f-y «6 sin^ron- . . . , H, =/«6sincn-y*.*^>sin*Gj-t-V*.«6sin«Gj-4-...,

H„-t = /'»-*6sincj-+-y»-*.*6sin*GJ4-...-*-'*-*/»-».'»-*6sin'»-*oj.

Il faut présentement tirer de ces équations les valeurs de usiner, *6sintEr, ...; on peut imaginer pour cela différents moyens; en voici un fort simple, dont j'ai déjà fait usage ailleurs. Je multiplie la première

des équations précédentes par "*"*/, et j'en retranche la deuxième; je multiplie la deuxième par ""*/, et j'en retranche la troisième, et ainsi de suite, ce qui donne

yH -Ht=: 6sinnj(»-y-/)

4- »6 sin «crC-y -- y ) -h . . . -h «-*6 sin «-«©(«-y— —«/ ),

-yH,-H,= fb sino (--«/-/)

Je multiplie pareillement la première de ces équations par ""Y, et j'en retranche la deuxième; je multiplie la deuxième par "'*/, et j'en retranche la troisième, et ainsi de suite, ce qui donne

H-y «-y- HiC-y-i- »-y) 4- h, r=6sinoj(«-y~/)('-y-/)+...

-4- «-»ô sin»-»By('»-y— »-y ) ('*-y--'*-y ),

H,»-y'-y~H,{»-y-i-'-y) + H, =/* 8inTij(»-y-./) (-y-/) -H. . .

-+- «-y «-«6 sin «-»Gy('»-y -- «-y) («-y— '•-y),

Je multiplie la première de ces équations par ''"'/, et j'en retranche la deuxième, et ainsi de suite, ce qui donne

H«-yn-y»-«/H,(«-y'»-y4-'»-y»-y+«-y»-y) -4- H.c-y H- —y H- '•-y) - h, = 6sinBi('»-y-/)(«-y~/)('-y-/)4-...,

De là, il est aisé de voir que si l'on nomme ë la somme de toutes les racines y, */, •/, ... ; y la somme de tous leurs produits deux à deux; X la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, on aura

- . H,»^t — 6H«— i-f-yH«j — AH„4-i-...

■ osmiij "=■ — ^—^ ^^—^ — ' — ^^—^ ^—^ •

On aura ^^sin'cj» '6sin^<7, ... en changeant successivement dans cette

valeur de 6sina, / en y, '/, ..., et réciproquement. On aura de la même manière

et l'on en conclura *6'sin*cT, ^A' singer, ...; *6"sin'tT, ^6"sin^tj, ...en y changeant successivement / en % y, . . . , et réciproquement.

De plus, il est aisé de voir, par la nature des équations (F), qu'il suffit pour avoir écostar de changer dans l'expression précédente de b sintar, H, H', . . . en L, L', ... ; désignant donc par L„|, L^-2» • • • des fonctions en L, L', ... pareilles à celles de H„,, H«2» ... en H, H', .. .,

et de là on conclura facilement *6cos'u, *6cos*nT, .. .; 6'cosci,

Les quantités 6, y, X peuvent se déterminer aisément de cette manière : soit

l'équation dont les différentes racines sont/, % */, ..., on aura, en divisant cette équation par a? — /,

donc, en multipliant cette dernière équation par a? — /• et la comparant terme à terme à la première, on aura

y-h6/=zie,

ou

ET SDR LE SYSTÈME DU MONDE. Ul

Quant au produit (/ — */) (/ — y) .... on le déterminera facilement en considérant que l'équation

peut être mise sous cette forme

en sorte que

Soit j? = /+ a, a étant supposé infiniment petit, et l'on aura, en négligeant les quantités de l'ordre a^ et divisant par a.

Maintenant on aura

*/ri= 6 sincTCOsa/T-h />cosi!Tsina/T -r. . ., */ =1 ^coscTCOSa/T — ôcosarsina/T h-

Donc l'équation (X') de l'article III donne, en y supposant /« = o,

/ = 6 sin wsin(^ — a/)T-f- 6cos mcos{q — (x/)T -h ^68in*cjsin(^ — ay)T -h ^bcos^xncosig .— ay)T

C'est la valeur de y après le temps quelconque T.

Si Ton voulait porter la précision jusqu'aux quantités de l'ordre a^, on ferait varier les nouvelles constantes arbitraires H, H', ... ; L, L', ... , comme nous l'avons fait dans l'article I.

On pourrait encore étendre aux équations à un nombre quelconque de variables la méthode que nous avons donnée (art. II) pour une équation différentielle à deux variables; je suppose, en effet, que l'on

ait les deux équations

^ .,. A'ty ^ s -4- a (^Sy-h S'^' -i- S-j + S'^^) h- ««(SV*"^- • .)-..••

T, T', ...; S, S', ... étant des fonctions quelconques rationnelles et entières de sinus et de cosinus ; on fera

y ^. z -¥- <x.z' 4- otrz" -h yz=L u -h a m'h- a* m"-!- . . . ,

et l'on trouvera, pour y et pour y, deux expressions de cette forme