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a* fl?* 3 a' d^z ^ ^ j ^ •"3.5^a;«^ 3. 5. 7 dx*^"^ -^î)"^-

Soit s = ^(x) rintégrale de cette équation; on aura

y=: <^{x) -h ex* -h bx -ha;

la supposition de/=o donne y = 5 = (p(a?); on voit ainsi que le mouvement de rotation du corps ne fait qu'ajouter à la valeur de v la quantité cx^ -h bx -h a; ainsi, toutes les figures de révolution dans lesquelles l'équilibre a lieu lorsque la masse est immobile ont également lieu lorsqu'elle tourne autour de son axe de révolution, pourvu qu'on ajoute à l'expression de j cx^-h bx-{- a; mais, lorsque /=o, existe-t-il d'autre cas d'équilibre que la figure sphérique? Il parait difficile de prononcer sur cet objet; voici cependant un théorème fort général qui exclut un grand nombre de figures.

Théorème. — L'expression dey ne peut avoir cette forme

ax^ -^ a' xV-' -J^ a' x^' -^ , . .

y— (,a:'--+-b'x''-hù''x'^-^.,. '

(jL, (jl', [jl'', . , . , r, /, r^\ ... éteint des nombres quelconques réels.

OKttpret de L. — Vlll. 63

Démonstration. — Je suppose d'abord que le dénominateur de cette expression se réduise à l'unité et que l'on ait

soit fJL le plus grand des exposants lu, (jl', jx", ... ; en substituant dans l'équation (D) de l'article VI, au lieu de 7, l'expression précédente, et supposant/ = o, le terme ax''^ en donnera un de cette forme

li.axV--^ j a/?sin/>cos'/> (/jl — i) sin*/? sm*/>

+ (F-')(f^-3)(fx,-3) ^.^ 1

et comme ce terme est le plus élevé par rapport à a?, il doit être séparément égal à zéro, ce qui donne

o = |ui rd'/?sin/>cos*/> (fjL — i)sin*/?— — ^sin*/> 4- . . . ;

or on a

(]jt--i)smV— -^- -^^ ^sm*/>-h. . .

= ï — (1 — sin'/>)i*-*=i — cos'ï*"*/?;

donc

o m fjt / 1//? sin/? cos*/? — |x / c^ sin/7 cos'ï*/>,

d'où l'on tire, en intégrant.

= fjL f C H î — cos*ï^-^*/> — { cosv)

Il faut déterminer la constante arbitraire C de manière que l'intégrale soit nulle lorsque cos/? = i, et faire ensuite cos/> = — i ; l'équation précédente devient ainsi

(T) o=z|jL[}(2fx4-i)-i-+-(-i)«l*-»-«];

l'équation (T) donne d'abord (x = o; il peut ensuite arriver trois cas : i« La valeur Ae tx peut être telle que l'on ait (— i)*»*-^« = i,

réquation (T) donne alors (x= — j; mais celte valeur de (x doit être rejetée, parce que le terme ax^ deviendrait imaginaire lorsque 2? serait négatif, et que d'ailleurs, |x étant le plus grand des exposants ijl, |x', ..., la valeur de y serait infinie lorsque x serait nul.

2** La valeur de (x peut être telle que l'on ait (— i)^t^* = — i, l'équation (T) donne dans ce cas (x = i.

3° Enfin, on peut supposer que (— i)^^"**' est imaginaire; mais alors l'équation (T) donnerait pour (x une valeur imaginaire, ce qui est contre l'hypothèse dont nous sommes partis.

Il suit de là que l'expression de j ne peut avoir que cette forme

(x", [x*^, ... étant moindres que l'unité et différents de zéro ; or, en substituant cette valeur dans l'équation (E) de l'article VI, et supposant y = o, il est visible que, si l'expression précédente de j y satisfait, celle-ci

y satisfera pareillement, puisque l'équation (E) ne renferme point j ni sa première différence; or il faut pour cela, comme on vient de le voir, que le plus grand des exposants ix", (x'% . .. soit zéro ou l'unité, ce qui n'est pas; donc, si l'équation

y z=i ax^ -\- a' x^' -\- , . .

est possible, elle ne peut avoir que cette forme

y zzzax -h a';

maintenant on a y = o lorsque x= i et lorsque a: = — i, d'où l'on tire a = o et a'== o; partant j = o, ce qui montre que le sphéroïde est une sphère.

Je dois observer ici que M. d'Alembert a déjà fait la même remarque pour le cas où les exposants (x, (x', . . . sont des nombres entiers positifs (voir le tome V des Opuscules de ce grand géomètre).

Supposons présentement que l'expression dey ait un dénominateur et que l'on ait

axV--h a' x^ -\~ a''j?f*''-H. . . ^

soit [X le plus grand des exposants [x» [x\ ... et r le plus grand des exposants r, r^ ,t^'^ . . ., on aura, en divisant le numérateur et le dénominateur de l'expression de j par of^

__ ax\*--^ -h a' xV-'-'' -{- . . .

•^"" b-hb'x'^'''-h...

En réduisant le dénominateur en série, on aura pour j^ une suite infinie de cette forme

j x\*--'' -\- hx^ -h h' x^ •+- . . .,

les exposants [k— r, l, l\ ... allant toujours en décroissant; or, si Ton substitue, au lieu dey, cette valeur dans l'équation (E) de l'article VI, en supposant /= o, on prouvera, comme ci-dessus, que ['- — r doit ,être égal h zéro ou à l'unité ou à -— ^. Si (ji — r = — ^, on aura r= (Jt. -h ^; donc

___ ax^^-^ a'x\^'-h, . .

*^~" bx^^i-hb'x^'-^.,.'

or, en faisant â? négatif, ar*^ est réel ou imaginaire; dans le premier cas, le dénominateur de l'expression dey, et dans le second cas, son numérateur devient imaginaire; on doit donc rejeter l'équation (x — r= — ^. Si (X — rest égal à zéro, on a l'unité; en divisant le numérateur de l'expression dey par son dénominateur, on pourra la mettre sous cette forme

. . . ex —j~ C X "~T~ • • •

•^ OX'^-h O X'^ -^, . .

I ne surpassant rni de zéro ni de l'unité, et puisque cette valeur de j^ satisfait à l'équation (E), en supposant/ = o, celle-ci

ca?'-+- c'a?'' -h. . .

y satisfera pareillement; or, pour cela il faut, par ce qui précède, que i surpasse r de zéro ou de l'unité, ce qui n'est pas; donc, pténéralement, l'expression

se réduit à celle-ci

Y —. ax -h a';

d'où Ton tire y = o et, par conséquent, que le sphéroïde est une sphère.

Quoique, en vertu de ce théorème, un grand nombre de figures se trouvent exclues du cas de l'équilibre, il n'est cependant pas démontré que la figure elliptique soit la seule possible; mais il est très remarquable que, indépendamment de cela, nous soyons parvenus à déterminer généralement la loi de la pesanteur, et que cette loi soit la même sur tous les sphéroïdes de révolution, pourvu que leur figure convienne à Téquilibre.