DE LA DISTANCE DE LA LUNE A LA TERRE

On sait, par la théorie des probabilités, que le grand nombre des observations peut suppléer leur précision, pour reconnaître des inégalités beaucoup moindres que les erreurs dont elles sont susceptibles. J'ai donc pensé que les flux dépendants des différences de l'action de la Lune dans les nouvelles lunes à son action dans les pleines lunes et de son action dans les quadratures boréales à son action dans les quadratures australes pouvaient devenir sensibles dans l'ensemble des nombreuses observations des marées que M. Bouvard a discutées. Ces flux sont produits par les termes de l'expression de l'action lunaire qui sont divisés par la quatrième puissance de la distance de la Lune à la Terre. Les termes divisés par le cube de cette distance, les seuls que l'on ait considérés jusqu'ici ne donnent aucune différence entre les flux lunaires des nouvelles lunes et les flux lunaires des pleines lunes. Les termes divisés par la quatrième puissance de la distance lunaire sont, par le n^ 23 du Livre III,

( [cos 9 sin v' -h sin 9 cos v* cos ( n/ -f- © — ^')y

''^' -i r*l — =[cosesînt;'-+-sinecosi;'cos(n/-+-By — 4/')]

On peut, dans le développement de cette fonction, négliger les termes qui dépendent de l'angle nt-hu — ^\ parce qu'il résulte du Chapitre précédent que les flux partiels relatifs a cet angle sont très-

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petits dans le port de Brest et deviennent insensibles lorsquUls sont divisés par la distance r' de la Lune à la Terre. Nous allons d*abord considérer le terme dépendant de Tangle 3nt-h3zs — 3^\ Ce terme est

H^sin»ecos»v'cos[3ii/4-3©-34;-3{f-4;)].

En substituant pour sinv\ cosi^S sin^' et cos^' leurs valeurs données dans le Chapitre II» on voit que ce terme produit un flux partiel de la forme

Gcos[3n/-+-3?Br— 3? — 3(9'— 9) — 3Q],

6 et Q étant des constantes que l'observation seule peut déterminer. Les autres flux partiels dépendants de l'angle 3/i/ + 3o — 3(p sont multipliés par le carré du sinus de l'inclinaison e' de l'orbite lunaire à l'équateur; ils sont peu considérables et produisent la difierence entre les observations équinoxiales et les observations solsticiales. On y aurait égard en considérant l'inégalité

Gcos[3/i/ -*- 3w — 3? — 3(<p'— <p) — 3Q]

comme représentant l'inégalité relative aux équinoxes, et en la multipliant par cos'i^' pour la rapporter aux solstices, ce qui diminuerait d'un cinquième k peu près la valeur de G dans les solstices; mais peut-être cette correction n'est pas suffisante. Dans les nouvelles lunes équinoxiales» 9'— 9 est nul. De plus, au moment de la haute mer du soir, n/H-CT — 9 ou l'angle horaire du Soleil est>.; l'inégalité précédente devient ainsi

Gcos(3X— 3Q);

c'est la quantité que ce flux partiel ajoute à la hauteur de la pleine mer du soir à Brest. Pour avoir sa valeur dans la basse mer du matin

qui la précède, il faut changer X en X 9 ce qui donne

~Gsin(3X-3Q); ce flux ajoute donc à l'excès de la haute mer du soir à Brest dans les

nouvelles Iunes« sur la basse mer qui précède, la quantité

Gcos(3X-3Q)-f.Gsin(33l-3Q).

On verra de la même manière que dans les pleines lunes, où 9'— 9 est égal à ?c, ce flux ajoute à cet excès une quantité contraire

-Gcos(33l — 3Q) — Gsin(33l-3Q);

ce flux doit donc, s'il est sensible, se manifester dans la différence d'un grand nombre de ces excès dans les nouvelles lunes et dans les pleines lunes.

Ce même flux doit se manifester encore dans les observations des marées quadratures. Dans ces observations, on a déterminé l'excès de la hauteur de la pleine mer du matin sur la basse mer du soir; l'inégalité précédente devient, au moment de la pleine mer du matin.

Gcos[3(x-^)-3Q-3(9'-9)],

et au moment de la basse mer du soir, elle devient

Gcos[33l-3Q~3((p'-<p)].

Dans le premier quartier, f '— 9 est égal à -\ l'excès de la haute mer du matin sur la basse mer du soir est donc

-Gcos(3i-3Q)-+-Gsin(33l-3Q).

Cet excès prend un signe contraire dans le second quartier, où

Dans les quadratures solsticiales, la Lune est près de l'équateur; dans les quadratures équinoxiales, elle est vers son maximum de déclinaison. La différence entre les marées quadratures du premier quartier et celles du second quartier doit donc être plus petite dans les équinoxes que dans les solstices.