LIVRE XV

Il parvient à ce résultat singulier, savoir, qu*un point qui décrit une courbe en vertu d'une force centrale pourra décrire de la même manière cette courbe, supposée mobile, si Ton augmente la force centrale d'une quantité réciproque au cube du rayon vecteur. Alors les vitesses angulaires du point et de la courbe sont en raison constante. Newton déduit de ce théorème un procédé fort ingénieux pour avoir le mouvement des apsides dans une orbite presque circulaire, décrite en vertu d'une force centrale exprimée par une fonction quelconque de la distance. Ce procédé, réduit en formule générale, donne l'angle décrit par le mobile, en allant d'une apside à la suivante, égale à la demi-circonférence multipliée par la racine carrée d'une fraction dont le numérateur est le produit de l'expression de la force centrale par le carré du rayon vecteur, et dont le dénominateur est le coefficient de la différentielle du rayon vecteur dans la différentiation du produit de l'expression de la force centrale par le cube de ce rayon, cette fraction étant rapportée, après les différentiations, à la moyenne distance du mobile, à l'origine de la force centrale.

Newton applique son procédé au cas où, la force centrale étant réciproque au carré de la distance, une action étrangère la diminue d'une quantité proportionnelle au rayon vecteur. En supposant cette quantité 177 de la force centrale dans les moyennes distances, ce qui a lieu, à fort peu près, relativement à l'action du Soleil sur la Lune, décomposée suivant le rayon vecteur lunaire, il trouve le mouvement de l'apogée plus petit de moitié que celui de l'apogée de la Lune. C'est ce qu'une ^première approximation donna ensuite aux géomètres qui appliquèrent, les premiers, l'analyse à la théorie de la Lune. Mais il est remarquable que Newton, dans la proposition IV du Livre III des Principes^ cherchant à corriger la tendance de la Lune vers la Terre de l'effet de l'action solaire , suppose cet effet égal à ^ de la pesanteur de ce satellite, c'est-à-dire tel qu'il résulte du mouvement observé de l'apogée lunaire.

Newton transporta facilement ses résultats au mouvement de deux points matériels A et B, qui s'attirent en raison de leurs masses et

suivant une fonction quelconque de leur distance mutuelle. Il avait établi que le mouvement du centre de gravité d'un système de corps ne reçoit aucun changement par leur action réciproque; en imprimant donc à ces points une vitesse égale et contraire à la vitesse initiale de leur centre commun de gravité, ce qui ne. change point leur mouvement relatif, ce centre devient immobile. Le point A est attiré vers lui par l'attraction du point B. En substituant ainsi, dans l'expression de l'attraction .de ce dernier point, au lieu de la distance mutuelle des deux points, le rayon vecteur mené du centre de gravité au point A et multiplié par le rapport de la somme des masses A et B à la masse B, le mouvement de A autour du centre de gravité sera ramené au cas d'un point attiré suivant une fonction du rayon vecteur vers un centre de forces immobile.

Par la nature du centre de gravité, les deux points A et B sont toujours avec lui sur une même droite, et leurs distances à ce centre sont en raison constante soit entre elles, soit avec leur distance mutuelle. De là il suit que ces points décrivent dans le même temps des courbes semblables autour dé leur centre de gravité et l'un autour de l'autre supposé immobile. Le cas de deux points matériels est celui de deux sphères dont les molécules s'attirent en raison des masses et réciproquement au carré des distances, Newton ayant démontré qu'alors ces corps s'attirent comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres respectifs. Cette propriété très-remarquable de la loi de la nature contribue à la simplicité des mouvements célestes, parce que, le Soleil, les planètes et les satellites étant à très-peu près sphériques, leurs mouvements ne sont que très-peu troublés par leurs figures.

Le système de tous ces corps est constitué de manière que la masse du Soleil surpasse considérablement celles des planètes, en sorte que l'on peut, dans une première approximation, négliger, avec Newton» leur action les unes sur les autres et sur le Soleil. Alors elles obéissent exactement aux lois de Kepler. Le système d'une planète et de ses satellites est pareillement constitué de manière que la masse de la planète surpasse considérablement celles de ses satellites. En négligeant