LIVRE XV

Soleil, dans des orbes peu excentriques et peu inclinés k Técliptique. De plus, leurs niasses sont fort petites relativement à la masse de cet astre. En négligeant donc leur action sur le Soleil et sur elles-mêmes, on a, par une première approximation, le mouvement elliptique dont Newton a développé les lois. Si Ton considère ensuite cette action, en négligeant les carrés et les produits des masses planétaires, on a une seconde approximation, qui peut être ordonnée suivant les puissances et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. En considérant de la même manière les carrés et les produits des masses des planètes, on obtient une troisième approximation, et ainsi de suite. Le mouvement des satellites autour de leur planète offre des simplifications semblables. L'action perturbatrice du Soleil est toujours peu considérable par rapport à l'action directe de la planète sur ces corps, quoique l'action du Soleil sur eux soit fort grande. Mais, leur distance à la planète étant très-petite relativement à la distance de la planète au Soleil, cet astre attire à peu près de la même manière la planète et ses satellites, en sorte que la force perturbatrice de leurs mouvements relatifs, qui n'est que la différence de ces diverses attractions du Soleil, est fort petite par rapport à l'attraction de la planète sur ses satellites. Malgré toutes ces simplifications, les divers problèmes de la théorie des perturbations des planètes et des satellites présentent de grandes difficultés, dont la solution exige des considérations délicates et minutieuses, soit pour choisir les coordonnées qui doivent donner dans les divers cas les approximations les plus convergentes, soit pour démêler dans le nombre infini des inégalités celles qui, quoique trè&-petites dans les équations différentielles, acquièrent par les intégrations de grandes valeurs et donnent ainsi la cause et les lois des singularités observées par les astronomes dans les mouvements célestes*

C'est à la première pièce d'Euler sur les mouvements de Jupiter et de Saturne qu'il faut rapporter les premières recherches sur les perturbations des mouvements planétaires. Cette pièce, couronnée par l'Académie des Sciences en 174B, fut remise au Secrétariat de cette Acadé-

mie le 127 juillet 1747» quelques mois avant que Clairaut et d'Alembert communiquassent à TÂcadémie les recherches analogues qu'ils avaient faites sur le problème des trois corps, qu'ils nommèrent ainsi parce qu'ils avaient appliqué leurs solutions au mouvement de la Lune attirée par le Soleil et par la Terre. Mais les différences de leurs méthodes à celles d'Ëuler prouvent qu'ils n'avaient rien emprunté de sa pièce. Elle fut imprimée en i749« année où parut l'Ouvrage de d'Alembert sur la précession des équînoxes, et qui par là est remarquable dans l'histoire de la Mécanique céleste.

Euler» ainsi que les géomètres qui se sont occupés les premiers de la théorie des perturbations, a choisi pour coordonnées celles que les astronomes employaient alors dans les Tables astronomiques, savoir, la longitude de la planète comptée d'une droite invariable prise sur un plan fixe, son rayon vecteur, l'inclinaison de l'orbite au même plan et la longitude de son nœud ascendant. Mayer a le premier introduit directement dans les Tables la latitude, au lieu de ces deux dernières coordonnées, ce qui est plus commode pour le calcul des perturbations et pour les calculs astronomiques. Euler donne entre les quatre coordonnées dont il fait usage et le temps, dont il suppose l'élément constant, quatre équations différentielles. Les deux premières, relatives à la longitude de la planète et à son rayon vecteur projeté sur le plan fixe, sont différentielles du second ordre. Les deux autres équations sont relatives à l'inclinaison de l'orbite et à la longitude de son nœud : elles sont différentielles du premier ordre. Euler ne donne point, dans sa pièce, l'analyse qui Ta conduit à ces équations. La Commission nommée par l'Académie pour juger cette pièce, et dont Clairaut et d'Alembert étaient membres, persuadée que la formation d'équa* tions différentielles propres aux approximations et aux usages astronomiques était l'un des points les plus intéressants de la théorie des perturbations, témoigna ses regrets de ce que l'auteur se fût contenté de présenter ces équations sans les démontrer. L'analyse par laquelle il y est parvenu est exposée dans deux de ses Mémoires, dont le premier parut en 1749 dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour la même