LIVRE XV. 3M

année; le second parut en lySo dans le Volume des Mémoires de V Académie de Pétershourg pour les années 1747 et 1 748. On y voit que le procédé d*Euler consiste à transformer les équations difTérentielles du second ordre, relatives aux coordonnées parallèles à trois axes fixes perpendiculaires entre eux, en quatre autres qui se rapportent aux coordonnées précédentes, et a combiner ces équations difTérentielles ainsi transformées, de manière à obtenir les équations différentielles qu'il a présentées dans sa pièce. Le premier des deux Mémoires cités est surtout remarquable en ce que ce grand géomètre y parvient aux équations différentielles du premier ordre de Tinclinaison et de la longitude du nœud en faisant varier les constantes arbitraires qui expriment ces deux éléments dans l'orbite invariable : c'est le premier essai de la méthode de la variation des constantes arbitraires.

Euler considéré d'abord les perturbations indépendantes des excentricités et des inclinaisons. Pour cela, il développe les forces perturbatrices en sinus et cosinus d'angles croissants comme le temps. Mais ce développement, sans lequel la formation des Tables astronomiques des planètes devenait impossible, présentait une difficulté que ce grand géomètre a très-heureusement surmontée. Elle consiste à développer les puissances du radical, qui exprime la distance mutuelle des deux planètes, dans une série d'angles multiples de leur élongation. Euler donne des expressions élégantes des divers termes de ce développement et, de plus, une relation très-simple entre trois termes consécutifs, au moyen de laquelle on peut facilement conclure des deux premiers termes tous les suivants. 11 fait la remarque importante que cette série, quoique peu convergente pour Jupiter et Saturne, le devient beaucoup par les diviseurs que ses divers termes acquièrent en vertu des intégrations.

Euler ne considère, dans sa pièce, que les perturbations du mouvement de Saturne par l'action de Jupiter. Il suppose d'abord les deux orbites dans un même plan, et il détermine les perturbations du rayon vecteur et de la longitude en faisant abstraction des excentricités des orbites. Les résultats auxquels il parvient sont peu différents de ceux

que j'ai donnés dans le Livre YL II considère ensuite les inégalités dépendantes des excentricités des orbites. Ici» de graves erreurs de calcul, qui ne tiennent point à sa méthode, rendent ses résultats inexacts. Les deux seules inégalités de ce genre qu'Euler détermine, et qui sont en effet les plus grandes de cet ordre, ont pour argument, la première Télongation de Saturne à Jupiter moins l'anomalie de Saturne, la seconde le double de cette élongation moins l'anomalie de Jupiter. Il trouve à cette dernière inégalité un signe contraire à son véritable signe. La comparaison des observations avec sa formule de la longitude de Saturne lui fit voir qu'elles s'en écartent considérablement, mais qu'elles s'en rapprochent beaucoup si l'on change le signe de cette inégalité. Soupçonnant alors qu'il s'était trompé dans son calcul, il le revit, mais sans en reconnaître l'erreur, et il en conclut que la loi newtonienne de l'attraction réciproque au carré des distances devait être modifiée. Dans le même temps, Clairaut tira la même conclusion en appliquant l'analyse différentielle au mouvement de l'apogée lunaire. Mais cet illustre géomètre, ayant porté plus loin les approximations, reconnut bientôt que la loi newtonienne donne le véritable mouvement de cet apogée. Dès lors tous les géomètres etËuler lui-même admirent cette loi sans aucune restriction, quoique plusieurs phénomènes astronomiques, tels que lés grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne et l'accélération du moyen mouvement de la Lune, leur parussent inexplicables en vertu de cette loi : plutôt que de la modifier, ils préférèrent de recourir à des causes étrangères.

Euler détermine le mouvement de l'aphélie de Saturne, mais sa formule est inexacte. En considérant les inégalités dépendantes de l'excentricité de l'orbite de Jupiter, l'intégration des équations difierentielles lui donna une inégalité en longitude, dont le coefficient croit proportionnellement au temps et dont l'argument est la distance de Saturne à l'aphélie de Jupiter. L'apparition de cet arc de cercle l'embarrassa; mais, dans un Supplément à sa pièce, il reconnut que, cette inégalité atteignant son maximum dans le même temps, à peu près, que l'équation du centre de Saturne, elle pouvait être représentée

J. . mA.