LIVRE XV

aussi profond analyste n^ait pas cherché ce que signifiait la racine qu'il négligeait et ce qui devait faire préférer l'autre racine. Mais, s'il eût bien fait son calcul» il aurait trouvé que les deux équations du second degré qu'il obtenait n'en forment qu'une, dont les deux racines sont réelles et donnent les rapports des excentricités correspondantes dans les deux orbites. Euler, malgré l'inexactitude de ses résultats, fit, par la considération d'une excentricité multiple des orbites, une découverte importante, dont le développement a démontré la stabilité du système du monde. Ce grand géomètre prouve que les excentricités et les positions des aphélies de Jupiter et de Saturne, déterminées par les astronomes, varient sans cesse, mais inégalement dans les différents siècles, et qu'elles se rétablissent dans une période d'environ trente mille ans. Il en conclut, dans la longitude des deux planètes, une grande inégalité séculaire, la même pour chaque planète, maintenant additive à leur longitude, et qui se rétablit dan&la période précédente. Les observations semblaient indiquer, au contraire, une accélération dans le mouvement de Jupiter et un ralentissement dans celui de Saturne; mais les recherches ultérieures ont prouvé que cette inégalité introduite par Euler n'existe pas.

D'Âlembert publia, en 1754» les deux premiers Volumes de ses Recherches sur le système du monde. Il y appliqua au mouvement des planètes, troublé par leur action mutuelle, les formules par lesquelles il avait calculé les mouvements de la Lune. Mais il n'a rien ajouté aux recherches d'Euler, si ce n'est la remarque de la relation qui existe entre les termes de la série dans laquelle Euler avait développé une puissance quelconque du radical qui exprime la distance mutuelle de deux planètes et les termes de la série de ce développement lorsqu'on diminue de l'unité cette puissance. On doit encore à ce grand géomètre, pour calculer les perturbations du mouvement d'une planète par l'action de ses satellites, perturbations qu'Euler n'avait point considérées, le moyen le plus simple, fondé sur le mouvement à très-peu près elliptique du centre commun de gravité de tous ces corps autour du Soleil. D'Alembert avait fait disparaître, par un moyen ingénieux,

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Tare de cercle que sa méthode d'intégration introduisait dans l'expression du rayon vecteur de la Lune. Il pensa que le même moyen peut être appliqué au mouvement des planètes. Mais ce moyen ne réussit qu'autant que l'arc de cercle est introduit par le mouvement de l'apogée, ce qui a lieu pour la Lune. Si l'arc dépend de ce mouvement et d'une variation séculaire de l'excentricité , ce qui a lieu pour les planëteSt le moyen proposé par d'Alembert ne réussit plus, et la question devient beaucoup plus difficile. On vient de voir par quel artifice Euler l'a résolue. D'Alembert, membre des Commissions nommées par l'Académie pour juger les pièces d'ËuIer, ne parait pas avoir remarqué cet artifice; mais ce qui doit surprendre, c'est qu'Ëuler lui-même n'en ait pas senti l'importance et qu'il n'ait pas cherché à l'étendre au système entier des planètes.

En 1756, l'Académie des Sciences couronna une troisième pièce d'Ëuler sur les inégalités du mouvement des planètes, produites par leurs actions réciproques. La méthode que ce grand géomètre y expose est très-belle et fort importante dans la Mécanique céleste. Elle consiste à regarder les éléments du mouvement elliptique comme variables en vertu des forces perturbatrices. Ces éléments sont : i® le grand axe de l'orbite qui donne, par la loi de Kepler, le rapport de la différentielle de la longitude moyenne à l'élément du temps; ^? l'époque de cette longitude; 3^ l'excentricité de l'orbite; 4*^ la longitude de l'aphélie; 5^ l'inclinaison de l'orbite à un plan fixe; 6^ la longitude de son nœud. Euler se propose de déterminer les variations que les forces perturbatrices introduisent dans ces éléments. Il l'avait déjà fait, comme on l'a vu ci-dessus, par rapport à l'inclinaison et à la longitude du nœud de l'orbite. Pour cela, il considère qu'à la fin d'un instant infiniment petit l'expression de la tangente de la latitude peut être censée appartenir également au plan de l'orbite de cet instant et au plan de l'orbite de Tinstant suivant. En différentiant l'expression de la latitude dans l'hypothèse des deux éléments constants, ou a la diOerentielle relative à l'orbite invariable pendant un instant. En différentiant la même expression dans l'hypothèse où la longitude et les