LIVRE XV. 3M

éléments varient, on a la différentielle relative à Torigine de Tinstant suivant. £n égalant ces deux différentielles, Euler obtient une équation entre les différentielles de Tinclinaison et de la longitude du nœud. Il différentie de nouveau la différentielle de la tangente de la latitude, obtenue dans la première hypothèse, ce qui lui donne entre les différentielles de ces éléments une seconde équation, dans laquelle il substitue, au lieu de la différence seconde de la tangente de la latitude, sa valeur donnée par les équations différentielles du mouvement de la planète.

La méthode suivie par Euler, pour déterminer les variations des autres éléments du mouvement elliptique, n'est pas aussi directe que la précédente; mais, au fond, elle revient au même. Le plan auquel ce grand géomètre rapporte d'abord les coordonnées est celui de Torbite de la planète dont il considère les perturbations. Il suppose ce plan fixe, ce que l'on peut faire dans le calcul du rayon vecteur et de la longitude, du moins si l'on néglige le carré de la force perturbatrice. Il détermine les expressions différentielles de ces deux coordonnées, différentielles que l'on déduit immédiatement du principe des aires et du principe des forces vives. Ensuite il considère l'expression elliptique du rayon vecteur, qui, comme l'on sait, est égal au paramètre divisé par l'unité diminuée du produit de l'excentricité par le cosinus de l'anomalie rapportée à l'aphélie. Il différentie cette expression en supposant les éléments constants; en comparant ensuite cette différentielle à celle du rayon vecteur qu'il a trouvée en fonction des forces perturbatrices, il détermine le paramètre et l'excentricité de manière à faire coïncider ces différentielles, ce qui lui donne les expressions de ces deux éléments. Euler en conclut la différentielle du quotient de l'unité divisée par le grand axe. Il est facile de s'assurer qu'elle est une différence exacte des coordonnées de la planète troublée, résultat important auquel Lagrange est parvenu d'une manière directe et d'où il a conclu, comme nous le dirons bientôt, l'invariabilité des moyens mouvements planétaires. La différentielle de l'expression elliptique du rayon vecteur, prise en y faisant varier les éléments

et l'anomalie, donne la différentielle de l'anomalie^ qui, retranchée de la différentielle de la longitude, donne la différentielle de la longitude de l'aphélie. Eulerne considère point la variation de l'époque, ce qui rend incomplète sa théorie de la variation des éléments elliptiques.

Dans l'évaluation des forces attractives, Euler rapporte le mouvement de la planète troublée au plan de la planète perturbatrice ; mais il observe que la projection de l'ellipse de la planète troublée sur ce plan est une ellipse dans laquelle, le Soleil n'étant plus au foyer, les lois de Kepler ne sont point observées autour de ce point, ce qui complique les calculs. Il juge donc avec raison que, dans le calcul des perturbations du rayon vecteur et de la longitude, il convient de rapporter le mouvement de la planète troublée au plan de son orbite. Il y a de l'avantage à rapporter ce mouvement au plan de l'orbite de la planète perturbatrice, dans le calcul des variations de l'inclinaison de l'orbite et de ses nœuds, et sur cet objet il parvient aux résultats de sa première pièce.

Plusieurs des formules de ce grand géomètre sont incomplètes; ainsi l'expression qu'il donne du mouvement de l'aphélie ne renferme point la partie de ce mouvement dépendante du rapport de l'excentricité de l'orbite de la planète perturbatrice à celle de l'orbite de la planète troublée. En général, dans cette pièce comme dans les deux précédentes, le mérite des méthodes fait regretter que leur auteur ait été souvent, par de nombreuses erreurs de calcul, conduit à des résultats fautifs, qui l'ont peut-être empêché lui-même de reconnaître les avantages de ces méthodes, sur lesquelles il n'est plus revenu.

Enfin, Euler termine sa pièce par une application étendue de ses formules au mouvement de la Terre. En partant de suppositions assez vraisemblables sur le rapport des masses des planètes à la masse du Soleil, il détermine la variation séculaire de l'obliquité de l'écliptique, qu'il trouve de [{%" sexagésimales, ce qui s'écarte fort peu des observations. Il a mis par là hors de doute la diminution séculaire de cette obliquité, que de savants astronomes regardaient alors comme incertaine.