CONSIDÉRATIONS SUR QUELQUES OBJETS DU LIVRE II

Sur les variations des éléments du mousi^ement elliptique.

2. J'ai donné, dans le Chapitre VIII du Livre II, les expressions différentielles des éléments du mouvement elliptique. J'ai repris cet objet d'une manière encore plus générale dans le Supplément à la Mécanique céleste. Je vais ajouter ici quelques considérations à ce que j'ai dit dans ce Supplément, dont je conserverai les dénominations, et que je suppose que l'on ait sous les yeux.

Les équations (5) et (6) de la page 33i du Tome III supposent que l'on néglige les carrés et les puissances supérieures dep et de q, ce qui revient à les considérer comme infiniment petites. Mais il est facile d'étendre ces équations au cas où ils sont finis. Pour cela, imaginons sur la surface d'une sphère deux arcs AC et BG, se coupant en G, et dont le premier représente un plan infiniment peu incliné à l'orbite représentée par BG, G étant le nœud ascendant de cette orbite sur AC. Représentons encore par l'arc BAM un autre plan fixe formant avec AC l'angle aigu et fini GAB. Je ne donne point ici cette figure, parce qu'elle est simple et facile à tracer d'après les indications précédentes. Nommons y' l'inclinaison de l'orbite BC sur BM ou le supplément de l'angle CBM. AC étant ce que j'ai nommé 0 dans le Supplément cité et l'angle ACB étant ce que j'ai nommé y, on aura, en désignant par ?: la demi-circonférence et par A l'angle CAB,

A-f- 71 — y'-+-y = 7r-f-surface ABC.

La surface ABC est, aux infiniment petits prës du second ordre, égale à y(i — cos6), et par conséquent égale à y — y, y désignant dans le Supplément y cosô; on a donc

A-t-TT — /-Hy = 7r4-y — ^, ce qui donne, en difierentiant,

dq :=dy\

On a ensuite, en faisant AB =/,

siny sinô = sin/ sin/,

ce qui donne, en observant que y et / sont infiniment petits et que y sinO est ce que nous avons nommé p dans le Supplément,

dp =zdf siny'.

Nommons présentement 6' la distance du nœud de l'orbite sur BAM au point fixe M, et faisons

p' = sin y' sin 6', g' =.- sin y' cos 6'; on aura, en observant que é^^dB',

dp' = dy' cos / sin 6' -f- rff sin y ' cos 0' , dq'= rf/ cos/ cos 6'— û^fsiny'sinô'.

L'expression précédente de dp donne

•^ sm/ On a ensuite, par ce qui précède, é/y'= dq; on aura donc

dp' = dq cosy' sinô'-f- dp cosO', dq' = dq cosy' cos 6'— dp sin 6'.

Si Ton substitue, au lieu de dp et dq, leurs valeurs données par les équations (5) et (6) de la page 33i du Tome III, on aura

dp = r (cosy'sme ^r cos^'t- I •

i/i — €f«\ àp dq