LIVRE XV

On a évidemment, en considérant successivement R comme fonction de petde q et comme fonction de p' et de q\

dR , dR , <JR . , àK , ,

En substituant pour dp' et dq' leurs valeurs précédentes en dp eidq, et comparant séparément les coefBcients de dp et de dq, on aura

dR c)R ., dR . ^, d/> d/> dg

Ces valeurs de j- ^^^^ ^^ substituées dans l'expression précédente de (^\ donnent

, , an dt , dR

dp = , cos y' 3-7 •

On trouvera de la même manière

j , an dt , dR

dq =z ~-rrr^ cosy' ^-7 • ^i-^a ^ d;>

Ces équations sont rigoureuses et peuvent être substituées aux équations (5) et (6) du Supplément cité.

On peut en conclure, de cette manière, les valeurs de d^' et de d^\ Pour cela, on observera que

sin»/ — /a 4- g'«, lang©' = A»

ce qui donne

dy* siny' cos/ — p' dp' -h g' dq\

de'sïn^y^-q'dp-p'dq'.

Substituant au lieu de £^'et de dq' leurs valeurs précédentes, on aura

. , . , andt l ,dVi , dR\

On a

dR . , dR . , dR ... dR . ,

QRuvres c/# !.. — V. 4/

En substituant pour rfft' et rfy' leurs valeurs précédentes, et en compa rant séparément les coefficients de dp' et de dq\ on aura

dR dR COS0' dR sinô' dp' 09' sin/ ôy' cosy''

dR dR s\n9' dR cosÔ' dq' 09' siny' ôy' cosy'*

d'où l'on tire

, dR , dR dR P dq' ^ dp' 09"

on a donc

j , an di ÔK

^ "" sin/v/r-^^ ^^'

On trouvera de la même manière

an dt dR

sinyVi— e*-» ^/

En ajoutant ces deux équations multipliées respectivement par dV et — é/y', on aura

dR , , dR ..,

Ainsi la fonction R est constante eu égard aux variations de V et de y'. Si l'on réunit ces équations aux équations (i), (2), (3), (4) du Supplément cité, et si l'on désigne ici par y et 0 ce que nous venons de désigner par y' et 0', on aura les six équations suivantes :

(i) darrz-2aadR,

, andt^^i—e^ f , x dR , - dR

de — -" (i— v^i — Éf2) dR H ■— »

, ,, , andi v^T— e^ dR (4) rflD- ^.

andt dR

^ ' ' sinyv/i-^^ ^^

/i/i rf/ dR

^ siny VI -^2 ^y