LIVRE XV

d'où l'on tire, en multipliant cette équation par rfV et en Tintégrant,

-jY =^c*— (»o7' — 4g)cosV,

c étant une constante arbitraire. Relativement à Jupiter et à Saturne, c est égal à ^n'—in, nt et nt étant les parties non périodiques de leurs longitudes moyennes.

Si c* surpasse ioq'—[\q pris positivement, on pourra réduire en série convergente la quantité sous le radical, et alors on obtient, pour Jupiter et Saturne, la valeur qui résulte des formules du Livre VI. Mais, si c^ est moindre que loy'— 4y pris positivement, l'angle V ne peut plus croître indéfiniment; il ne peut qu'osciller autour de l'un de ces deux points, zéro et la demi-circonférence. Ce changement de révolution en oscillation aura lieu si, en faisant varier n et n' de ^n et %n\ on a

5n' — 2/1-1-5 inf — i in^= V <og' — 4?»

la quantité sous le radical étant prise positivement. Cette quantité peut être supposée sensiblement la même pour toutes les valeurs de 55/1 et W, pourvu qu'elles soient fort petites relativement à n et n\ parce que les demi-grands axes a et a\ dont q et q' dépendent, restent alors à très-peu près les mêmes. Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne sont, à fort peu près,

"^ - sinV, — Zl?' sinV.

Dans les dernières Tables de M. Bouvard, ces inégalités sont, en secondes centésimales,

3662", 4 . SinV, - 8895*', 7 . sinV, ce qui donne

(1) Les deux nombres 8896", 7 et 8875^7 devraient être identiques; ni l'un ni Faulre d'ailleurs n'est égal au nombre 8866', 2 qu'on lit dans l'Introduction des Tables de Bouvard ( Tables de Jupiter, de Saturne et d'Uranus, par M. A. Bouvard, 1821; p. m). V. P.

En réduisant les arcs en parties du rayon, on a

rfV les deux limites de Toscillation de -j- sont donc

dt

Pour que la valeur de ^t- soit comprise dans ces limites, il faut que Ton ait

ce qui commence à exister lorsque Ton a

5 ô/i' — 2 dn = — 0,5958.(5/*' — in).

Alors le moyen mouvement de Saturne deviendrait exactement les deux cinquièmes de celui de Jupiter. Si l'on fait 8/1 égal à — W, l'équation précédente donne

Or on a, à fort peu près, 5/i'— 2/1 = ^^ on aura donc

in^ 0^958 n' 210

On a, par les lois de Kepler, —r= rî on aura ainsi

*^^53^' et, comme on a supposé 8n = — %n\ on aura

ia= — -r. — lieo

Il eût donc suffi de faire varier de ces petites fractions les distances moyennes de ces deux planètes au Soleil pour rendre leurs moyens mouvements commensurables. La détermination de V aurait alors présenté des difficultés; mais il est inutile de nous en occuper.