LIVRE XV

Sur la détermination des orbites des comètes par les observations.

5. J'ai donné, dans les n^ 28 et suivants du Livre II, une nouvelle méthode pour déterminer les orbites des comètes. Elle consiste à déterminer par les observations, en partant d'une époque fixe, la longitude et la latitude géocentriques de la comète, et leurs premières et secondes différences divisées par les puissances correspondantes de l'élément dt du temps supposé constant. On conclut ensuite rigoureusement, des équations différentielles du mouvement de la comète, sa distance périhélie et l'instant de son passage par le périhélie. Pour obtenir avec plus de précision les données dont je viens de parler, j'avais proposé d'employer plus de trois observations, en ayant soin d'augmenter l'intervalle des observations extrêmes, en raison du nombre des observations employées. Mais, indépendamment de la longueur du calcul, les erreurs des observations nuisent à l'exactitude que l'on peut attendre de la multiplicité des observations, et il me parait préférable de n'en employer que trois, en fixant l'époque à l'observation intermédiaire, et en prenant les observations extrêmes assez peu distantes entre elles pour que, dans l'intervalle qui les sépare, les données précédentes puissent être supposées à fort peu près les mêmes.

Soient oc,, oc, oc' les longitudes géocentriques de la comète dans la première, dalis la deuxième et dans la troisième observation. Soient 0,, 8 et 6' les latitudes géocentriques correspondantes. Désignons par i l'intervalle de la première à la deuxième observation, et par i' l'intervalle de la deuxième observation à la troisième. Prenons pour époque la deuxième observation et désignons par a, 6, A, / les quatre différen-

tielles T-ï -j^j 27» wTT' Nous aurons, par les formules connues, les

quatre équations

a — a,=^ la 6, 9 — 9,^= ih /,

On doit observer ici que les intervalles i et i' sont égaux aux produits du nonobre des jours qu'ils comprennent par l'arc que la Terre décrit dans un jour, en vertu de son mouvement moyen. En supposant donc que, dans les équations précédentes, i et «'soient ces nombres de jours, ces équations donneront, en y changeant a, 6, A, / en a\ h\ h\ f, les valeurs de ces dernières quantités en secondes. Si elles sont sexagésimales, on aura les logarithmes de a et de A en retranchant des logarithmes des nombres de secondes contenues dans à et h' le logarithme 3,5500072. On aura les logarithmes de 6 et / en retranchant des logarithmes des nombres de secondes contenues dans b' et /' le logarithme 1,7855874.

On déterminerait avec plus d'exactitude les quatre inconnues a, 6, h et /, en employant d'autres observations, pourvu qu'elles soient comprises entre les deux observations extrêmes précédentes. On aura, par ce qui précède, les équations relatives aux observations ajoutées. On formera ensuite, de toutes ces équations, par la méthode la plus avantageuse, quatre équations finales qui détermineront les inconnues a, b, h et /. Cela posé, les équations (L) du n° 35 du Livre II donnent les suivantes :

(«) r^ =:^^-ciRj:cos(0-a)^-RS

A/—— X Ih^ \Sin%B -\- -/4- -a^sinecosô) 4- -Rsin0cos9cos(O ~"«) (in ~" i) »

cos-^Ô cos*0 cos^ô

[sin(0--a) ., , ,^ ."1 — '^^ ^ - (R'- i) cos(0 - a)J

— lax

(R-.)sin(0-«)+ -^ ^J-^Ri-;