LIVRE XVI

sinus des deux angles qui expriment les distances du Soleil au nœud et (lu nœud à la Lune, et par le cosinus de la distance de la Lune au Soleil. En changeant dans cette fonction le mouvement horaire de la Lune dans la différentielle de ce mouvement, en développant en cosinus simples le produit des sinus et des cosinus, et ensuite en intégrant, on a facilement l'expression du moyen mouvement du nœud et ses inégalités. Ce procédé n'était point au-dessus de l'analyse connue de Newton; mais il ne l'a point donné, soit qu'alors on ne fut point familiarisé avec les développements en sinus et cosinus simples des produits de sinus et de cosinus et avec l'intégration de leurs différentielles, soit que Newton, s'étant proposé d'exposer toutes ses théories sous une forme synthétique, ait cherché les moyens d'y parvenir par la synthèse, soit enfin que, ayant trouvé ses résultats par l'analyse, il les ait traduits synthétiquement, ce qu'il parait avoir fait dans plusieurs cas. La manière dont il a déterminé le mouvement moven du nœud et son inégalité principale, quoique compliquée, est exacte et ingénieuse. Newton observe que, dan^ le cours de chaque mois, le mouvement du nœud s'accélère et se ralentit de manière qu'il a rétrogradé, à la fin du mois, d'une quantité dépendante seulement de sa distance au Soleil. Il parvient ainsi à séparer, dans l'expression du mouvement horaire du nœud, ce qui est indépendant de la position de la Lune dans son orbite de ce qui en dépend. Cette dernière partie ne devant produire que des inégalités dont la période est à peu près d'un demi-mois et qui disparaissent de l'expression de la latitude en se combinant avec les inégalités correspondantes de l'inclinaison, Newton la néglige et ne considère que la première partie du mouvement horaire du nœud. Il en conclut, par des considérations géométriques et par la quadrature des courbes, le moyen mouvement annuel du nœud et son inégalité principale dont l'argument est le double de la distance du Soleil au nœud. Il obtient de la même manière l'inégalité principale de l'inclinaison, qu'il trouve conforme, ainsi que l'inégalité du nœud, à celles que Tycho Brahe avait déduites de ses observations.

Tels sont les résultats dont Newton, dans la première édition de son

Œuvres de L. — y\ Oo

Ouvrage des Principes, a donné les démonstrations» auxquelles il n'a rien changé dans les éditions suivantes. Il y a seulement ajouté quelques équations, qu'il dit avoir déduites de sa théorie de la gravité, mais sans en donner les démonstrations. De ce nombre est l'équation annuelle de la Lune, pour laquelle il se contente d'observer que l'orbe lunaire se dilate par l'action du Soleil dans son périhélie, et se contracte par la diminution de cette action dans l'aphélie, et que la Lune se mouvant avec plus de lenteur dans un orbe plus dilaté, son mouvement doit retarder lorsque le Soleil est plus près de la Terre et s'accélérer lorsque cet astre est plus éloigné; d'où résulte, dans le mouvement lunaire, une inégalité annuelle de signe contraire à celle du Soleil et dont il trouve une valeur conforme aux observations. Newton donne encore, sans démonstration, quelques autres inégalités. Mais l'Analyse peut seule conduire a la détermination exacte de toutes les inégalités lunaires. Il fallait sans doute une force d'esprit extraordinaire pour obtenir sans son secours les résultats auxquels Newton est parvenu, et qui, qi^oique incomplets, suffisent pour établir que l'attraction du Soleil sur la Lune et sur la Terre est la vraie cause de toutes les anomalies du mouvement de la Lune.

Un avantage immense de la théorie et des aperçus de Newton sur ce mouvement a été la formation de nouvelles Tables de la Lune, Tables qui, par l'application de l'Analyse à cette théorie, ont acquis le haut degré de perfection nécessaire aux besoins de la Navigation et de la Géographie.

En 1747» Clairaut et d'Alembert présentèrent k l'Académie des Sciences les équations différentielles du mouvement d'un corps attiré par deux autres et leurs méthodes pour intégrer ces équations lorsque la force principale qui sollicite le corps est fort supérieure aux forces perturbatrices, ce qui est le cas de la Lune et des planètes. Ces deux illustres géomètres firent une application spéciale de leurs analyses au mouvement de la Lune, et ils en conclurent avec une grande facilité, non-seulement l'inégalité de la variation, que Newton avait obtenue d'une manière compliquée, quoique fort ingénieuse, mais encore