LIVRE XVI

des inégalités lunaires, V élection y qu'il considérait, avec Horrox, comme le résultat de deux inégalités, Tune dans Texcentricité de l'orbite, l'autre dans le mouvement de l'apogée. On voit cependant qu'il avait essayé de déterminer ces inégalités, ainsi que le moyen mouvement de l'apogée; mais, ces essais ne l'ayant point satisfait, il s'abstint de les publier. En effet, la détermination de ce mouvement a présenté aux géomètres de grandes difiBcultés.

Newton a été plus heureux par rapport à la variation. Pour l'obtenir, il détermine d'abord les forces dont la Lune est sollicitée par l'action du Soleil dans son mouvement relatif autour de la Terre. En faisant ensuite abstraction de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbe lunaire, il cherche la variation de l'aire décrite par le rayon vecteur de la Lune pendant l'élément de temps, supposé constant; il obtient la loi de cette variation depuis la syzygie jusqu'à la quadrature. Les carrés des vitesses de la Lune dans ces deux points sont, en négligeant le carré de la force perturbatrice, comme les carrés des aires instantanées, divisés respectivement par les carrés des rayons vecteurs. Les carrés des vitesses, divisés par les rayons de courbure, sont égaux aux forces centrifuges correspondantes. Aux deux points de la syzygie et de quadrature, ces forces sont dirigées suivant les rayons vecteurs, et elles sont égales et contraires aux forces lunaires décomposées suivant la direction de ces rayons.

De la Newton déduit le rapport des rayons de courbure aux mêmes points en fonction des rayons vecteurs correspondants. Pour avoir un second rapport. Newton considère l'orbite de la Lune comme une ellipse mobile, dont la Terre occupe le centre et dont le périgée suit le Soleil, de manière que le petit axe de l'ellipse correspond toujours à la syzygie et le grand axe à la quadrature. Cette considération est exacte, mais elle exigeait une démonstration. C'est ainsi que Newton, dans sa théorie de la figure de la Terre, a supposé sans démonstration que les méridiens sont elliptiques. Ces hypothèses de calcul, fondées sur des aperçus vraisemblables, sont permises aux inventeurs dans des recherches aussi difficiles; mais, étant liées mathématiquement au

principe que l'on veut établir, on peut toujours craindre, tant que cette liaison n'est pas démontrée, qu'elles ne soient contradictoires à ce principe. Newton détermine, par sa méthode des fluxions, les rayons de courbure de l'orbite de la Lune, lorsque cet astre parvient aux extrémités des axes de l'ellipse mobile, ce qui lui donne un second rapport de ces rayons, en fonction des axes et par conséquent des rayons vecteurs correspondants à la syzygie et à la quadrature. En égalant ce rapport au précédent, il obtient le rapport des deux axes de l'ellipse, qu'il trouve être celui de 69 à 70. Ce rapport donne le rayon vecteur de l'ellipse dans un point quelconque; en divisant donc l'expression de la variation instantanée de l'aire par le carré de ce rayon, on a la différentielle de la longitude vraie de la Lune, et, en intégrant, on obtient cette longitude et par conséquent l'inégalité de la variation.

Le procédé de Newton, quoique moins direct, conduit au même résultat, qui lui donne l'inégalité de la variation égale à 35' lo"" sexagésimales dans son maximum, ce qui est à trës-peu près conforme aux observations.

Cette méthode de Newton est fort ingénieuse, et l'on verra, dans le Chapitre suivant, qu'en la traduisant en analyse, elle conduit facilement aux équations différentielles du mouvement lunaire.

Newton considère ensuite le mouvement du nœud ascendant et la variation de l'inclinaison de l'orbite lunaire. Pour cela, il décompose l'action perturbatrice du Soleil sur la Lune en deux forces : l'une est dirigée vers le centre de la Terre, et, par conséquent, étant dans le plan de l'orbite, elle ne dérange point la position de ce plan; l'autre force est parallèle à la ligne menée du Soleil à la Terre et dérange le plan de l'orbite. Newton la compose avec le mouvement de la Lune à la fin d'un instant, et, faisant passer un plan par la résultante et par le centre de la Terre, il détermine la position de ce plan, qui devient celui de l'orbite lunaire dans l'instant suivant. Il trouve ainsi le mouvement horaire du jiœud égal au produit d'un facteur, à très-peu près constant, par le mouvement horaire de la Lune, par le produit des