LIVRE XVI

latitude, d'Alembert emploie, comme Newton, les variations différentielles du mouvement du nœud et de Tinclinaison de l'orbite. Pour intégrer Téquation différentielle du rayon vecteur projeté, il ne rapporte point, comme Clairaut, la partie elliptique de l'expression de ce rayon à un apogée mobile, mais il fait disparaître par un moyen ingénieux l'arc de cercle qu'introduirait la supposition d'un apogée immobile, ce qui le conduit, sans hypothèse, à la considération d'un apogée mobile. Une seconde approximation ayant presque doublé le mouvement de l'apogée donné par la première, et par la ayant accordé la théorie avec l'observation, il était à craindre que les approximations suivantes ne détruisissent cet accord. Il devenait donc important de porter encore plus loin ces approximations. C'est ce que d'Alembert a fait et il a trouvé que la théorie se rapprochait ainsi de plus en plus de l'observation.

Peu de mois avant que Clairaut et d'Alembert présentassent à l'Académie des Sciences leurs solutions du problème des trois corps, elle reçut la première pièce d'Euler sur Jupiter et Saturne, qui contient une solution du même problème, appliquée au mouvement de Saturne. Ce grand géomètre fit paraître cette solution dans les Mémoires de V Académie de Pétersbourg pour les années 1747 et 1748, et dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour 1750, et il en déduisit le mouvement du nœud de l'orbite lunaire et les inégalités de son inclinaison à l'écliptique. Il publia en 1753 un Ouvrage spécial sur la théorie de la Lune, dans lequel il prend pour coordonnées du mouvement lunaire le rayon vecteur projeté sur l'écliptique, l'anomalie vraie, et, au lieu de la latitude, il considère, comme Newton, le mouvement du nœud et l'inclinaison de l'orbite.

On peut varier la solution du problème des perturbations lunaires d'autant de manières qu'il y a de systèmes différents de coordonnées. Mais un des points les plus importants de cette solution est le choix du système qui donne les approximations les plus faciles et les plus convergentes, et qui fait le mieux démêler, dans le nombre infini des inégalités de la Lune, celles qui peuvent devenir sensibles en acqué-

raut, par les intégrations successives, de petits diviseurs. Je ne balance point à regarder le système de coordonnées dont j'ai fait usage dans le Livre YII comme le plus avantageux sous ces rapports. La force perturbatrice du mouvement lunaire dépend des sinus et cosinus de son mouvement vrai et de son élongation au Soleil; leur réduction en sinus et cosinus d'angles dépendante du mouvement moyen de la Lune est pénible et peu convergente, à cause de la grandeur de son équation du centre et de ses principales inégalités. Il y a donc de l'avantage à éviter cette réduction et à déterminer d'abord la longitude moyenne en fonction de la longitude vraie, ce qui peut être utile dans le cas où Ton cherche le temps correspondant à la longitude vraie. On détermine ensuite, par le retour des séries, la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne, et l'on n'a point à craindre dans ce retour le peu de convergence des approximations, que l'intégration des équations différentielles laisse toujours incertaine. A la vérité il faut, dans cette méthode, convertir le mouvement vrai du Soleil en fonction de la longitude vraie de la Lune. Mais, dans cette conversion, les grandes inégalités lunaires sont multipliées par le rapport du moyen mouvement du Soleil à celui de la Lune ou par 7, environ, ce qui les rend fort petites.

Mayer publia en 1753, dans les Mémoires de l'Académie de Gœi* lingue, de nouvelles Tables de la Lune : pour les former, après avoir reconnu par la théorie les arguments des diverses inégalités lunaires, il détermina leurs coefficients par les observations. Il perfectionna ces Tables et la théorie qui l'avait guidé, et il les adressa, en 1755, au Bureau des Longitudes de Londres. Après sa mort, arrivée en 1763, sa veuve envoya au même Bureau une copie de ces Tables encore perfectionnées, et Bradley, les ayant comparées à beaucoup d'observations, les trouva si exactes, qu'on leur adjugea un prix de 3ooo livres sterling. Elles ont été imprimées, ainsi que la théorie de l'auteur, en 1765. Dans cette théorie, Mayer prend pour coordonnées de la Lune son rayon vecteur, un angle dont la différentielle est proportionnelle à Télément du temps, divisé par le carré du rayon vecteur, et la latitude.