LIVRE XVI

Je supposerai ar assez petit pour que Ton ait, à très-peu près,

et alors l'attraction précédente devient

dm . .

— (i-ar).

Je vais maintenant déterminer d'après cette loi l'attraction d'une sphère homogène dont le rayon est R sur un point P extérieur dont r est la distance au centre de la sphère, et je supposerai r très-grand par rapport à R.

Soit /la distance à P d'une molécule dm de la sphère. Soit q la partie de /interceptée entre cette molécule et la surface de la sphère. Il est facile de voir que l'attraction de la molécule dm sur P sera

dm . .

Cette attraction, décomposée parallèlement à r, sera

dm cos\ , ,

V étant l'angle que/ forme avec r et qui est supposé très-petit. La

somme de toutes les quantités — ^ — exprime l'attraction de la sphère

entière sur le point P lorsque a est nul, et cette attraction est, comme l'on sait, égale à la masse de la sphère divisée par r^ ; elle est donc

7P étant la circonférence dont le diamètre est l'unité.

Pour avoir la somme de toutes les quantités — - ^^ ^^ » nous

observerons que, a étant très-petit ainsi que V, et /différant extrêmement peu de r, on peut supposer ici cosV= i et/= r, ce qui réduit

Œuvres de L, — V. S']

la quantité précédente à celle-ci :

aqdm

La ligne q peut être supposée parallèle à r; en nommant donc u la distance mutuelle de ces deux lignes, et u l'angle formé par un plan fixe passant par r et par un autre plan passant par r et par q^ on aura

dmz= ududmdÇf ce qui donne '

- ^/? ^''^ = - ^ ///" rf" dwgdg.

Les intégrales doivent être prises depuis u = o jusqu'à u = 27:, depuis q = o jusqu'à q == 2Q, 2Q étant la partie de la droite /comprise dans la sphère; enfin, depuis u = o jusqu'à m = R. Il est visible que Q*— R' — u^ ; on aura ainsi

L'attraction de la sphère sur le point P sera donc

La réaction étant toujours égale à l'action, il est facile de voir que l'action de P sur le centre de la sphère sera

-(i--:aR)

P étant la masse du point.

Imaginons maintenant que ce point soit le Soleil, et que la sphère dont nous venons de parler soit la Terre; concevons ensuite que la Lune soit une sphère homogène dont R' soit le rayon;