LIVRE XVI. iSS

avaient attribué Tinégalité de 4^7 jours aux attractions mutuelles des trois premiers satellites ; mais ce n'était de leur part qu'un simple aperçu dénué de tout calcul. Dans la proposition 66 du Livre I des Principes^ Newton s'est occupé des perturbations du mouvement de plusieurs petits corps qui circulent autour d'un grand corps. Il trouve que le corps le plus intérieur se meut plus vite dans sa conjonction et dans son opposition au corps extérieur que dans les quadratures. Il a de plus étendu aux satellites» dans le Livre III, quelques-uns des résultats de sa théorie lunaire. Mais ce ne fut qu'en 1766 que l'on appliqua l'Analyse au mouvement des satellites de Jupiter, l'Académie des Sciences ayant proposé la théorie de ces mouvements pour le sujet du prix de Mathématiques de cette année.

Lagrange, auteur de la pièce couronnée, y donne les équations différentielles du mouvement de ces astres, en ayant égard à leur action mutuelle, à l'attraction du Soleil et à l'ellipticité du sphéroïde de Jupiter. Il les intègre d'abord en négligeant les excentricités et les inclinaisons des orbites, et il parvient aux inégalités dépendantes de l'élongation mutuelle des satellites, et d'où résultent, dans le retour des éclipses des trois premiers, les inégalités dont la période est de 437 jours, et que Bradley et Wargentin avaient découvertes. Lagrange considère ensuite les inégalités dépendantes des excentricités et des inclinaisons des orbites. Ici se présentait à l'analyste une grande difficulté, dont le dénouement donne l'explication des phénomènes singuliers observés par les astronomes, sans qu'ils en aient pu reconnaître les lois. Cette difficulté s'était déjà présentée à Ëuler et à Lagrange dans la théorie de Jupiter et de Saturne. J'ai développé, dans le Chapitre I du Livre précédent, la manière dont ces deux grands géomètres l'avaient résolue. La méthode dont Lagrange a fait usage pour cet objet, dans la théorie des satellites de Jupiter, est celle qu'il avait employée dans sa théorie de Jupiter et de Saturne. Elle consiste à regarder comme autant de variables les termes des équations différentielles, qui, par l'intégration, acquièrent des diviseurs de l'ordre des forces perturbatrices, et à former, entre les termes correspondants du rayon

vecteur, de la longitude et ces nouvelles variables, autant d'équations diflerentielles linéaires à coefficients constants. En les intégrant, Lagrange obtient, pour chaque satellite, quatre équations du centre. En appliquant la même analyse aux équations différentielles de la latitude, il obtient, pour chaque satellite, quatre équations principales (le la latitude, et, pour les représenter, il imagine quatre plans, dont le premier se meut sur Torbite de Jupiter, le second se meut sur le premier, le troisième sur le second, enfin le quatrième, qui est celui de Torbite du satellite, se meut sur le troisième. Mais ce grand géomètre, ayant supposé que l'équateur de Jupiter est dans le plan de Torbite de Jupiter, a fait disparaître par cette supposition les termes dus à l'inclinaison de cet équateur sur l'orbite de la planète, et dont dépendent principalement les singuliers phénomènes aperçus par les astronomes dans le mouvement des orbites des satellites.

Lorsque Lagrange s'occupait de ses recherches, Bailly appliquait au mouvement des satellites de Jupiter les formules que Clairaut avait données dans sa Théorie de la Lune. Il reconnut les inégalités dont la période était de 4^7 jours; mais cette théorie ne pouvait pas lui donner les quatre équations du centre que Lagrange avait obtenues par son analyse.

Mes premières recherches sur les satellites de Jupiter ont eu pour objet les rapports que présentent les trois premiers satellites de Jupiter, et qui consistent en ce que i° le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, est égal à trois fois celui du second; 2^ la longitude nioyenne du premier satellite, plus deux fois celle du troisième, est égale à trois fois la longitude du second, plus la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les mouvements observés de ces astres satisfont à ces lois, depuis leur découverte, en indiquait l'existence avec une vraisemblance extrême. J'en rherchai donc la cause dans l'action mutuelle des trois satellites. L'examen approfondi de cette action me fit voir qu'il a suffi qu'à Torijfine les rapports des moyens mouvements séculaires aient approché de la première de ces lois dans de certaines limites, pour que cette