PAR L'AUTEUR
(lUPBIIIÊ SCn LE SANUSCBIT TKOCTÉ DAK8 SES PAPIERS.)
En publiant mon Traité de Mécanique céleste, j'ai désiré que les Géomètres en vérifiassent les résultats, et spécialement ceux qui me sont propres. Les résultats de la théorie du Système du Monde sont, pour la plupart, si distants des premiers principes que leur vérification est nécessaire pour en assurer l'exactitude. Les Géomètres qui s'en occupent font donc une chose utile à l'Astronomie. Je dois, comme savant et comme auteur, beaucoup de reconnaissance à ceux qui ont bien voulu prendre mon Ouvrage pour texte de leurs discussions, et qui par là m'ont fourni l'occasion d'éclaircir quelques points délicats traités dans cet Ouvrage. Ce sont ces éclaircissements et quelques recherches nouvelles qui sont l'objet de ce Supplément.
Sur le dé\^eloppement en série du radical qui exprime la distance mutuelle de deux planètes.
1 . En considérant cet objet dans les n** 3 du Livre XI et du Livre XV de la Mécanique céleste, je me suis spécialement proposé de faire voir, par un exemple intéressant, l'utilité des méthodes que j'ai exposées
avec étendue dans ma Théorie analytique des probabiUtés^ Tune pour obtenir en intégrales définies les variables données par des équations linéaires aux différences finies k coefficients variables, Tautre pour avoir, par des approximations rapides et convergentes» les intégrales définies fonctions de trës-grands nombres. C'est surtout dans le développement des fonctions en séries que ces méthodes sont utiles pour avoir les limites des termes de ces développements, et pour reconnaître si les séries qui en résultent sont convergentes. Je nomme limiies les valeurs dont les termes du développement approchent sans cesse à mesure que leur rang est plus considérable» et qui coïncident avec elles dans rinfini.
Si l'on nomme r et r' les distances de deux corps qui s'attirent à un même point fixe, et 6 l'angle compris entre ces distances, la distance mutuelle de ces deux corps sera
On sait combien le développement du radical
est important dans les théories de la figure et des perturbations des planètes.
Or, supposant r'^p^r et faisant -7 = «• on peut développer le ra-
dical (i — 2a cos6 + (x}y^ soit par rapport aux puissances de a, soit par rapport aux cosinus de l'angle 0 et de ses multiples. Le premier de ces développements est nécessaire dans la théorie de la figure des planètes, et le second dans la théorie des perturbations. Dans le n^ 3 du Livre XI cité, j'ai exprimé par une intégrale définie le terme général du premier développement, et j'ai donné une limite de cette expression, qui devient de plus en plus compliquée, à mesure que le nombre des termes augmente. Dans le n^ 3 du Livre XY, j'ai cherché à exprimer pareillement par une intégrale définie le terme général du second développement.
Si Ton désigne par a'^'^ le terme général du radical ( i — 2a cos6 4- a*)"î développé suivant les puissances de a, on a, par le n^ 23 du Livre III de la Mécanique céleste,
^ ' '^ l.!2.i...l L 2(^1 — 1) 2.4(ai — l)(2I — 3) J
lorsque 1 est un grand nombre ^ cette expression contient un grand nombre de termes; mais j'ai prouvé, dans le numéro cité du Livre XI» qu'alors elle se réduit, à très-peu près, à
i/-7risin0
-K étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. Je vais ici confirmer ce résultat singulier par une autre méthode.
On a, par les n^ 8 et 9 du Livre III de la Mécanique céleste,
exprimons l'intégrale de cette équation par
p(0=r ucosaB -\- a'sinaO,
u et u' étant fonctions de 6, et a étant supposé égal à [i{i + i)]'. En substituant cette valeur dans l'équation (2), et comparant séparément les coefficients de sinaB et de cosad, on aura
rf>a' rfa[ cosO du cosO 'dë^'^'dQ sinô
do sm 0 a
^ d^u du cosO du' ,cos6 "" dë^ "" de sïnë du sm Q a
Ces équations donnent, en négligeant les termes divisés par a et en les
intégrant,
«==Hsin'^0, M'z^H'sin"^e,
H et H' étant deux constantes arbitraires. Si Ton fait
u = H sin"'^0 -+- -, ii'= H'sin"^^ -h —,
les équations différentielles précédentes donneront les valeurs de X et de X'. En continuant ainsi, on aura les valeurs de u et de u\ et
par conséquent celle de p^^\ développées suivant les puissances de -•
Nous ne considérerons ici que les termes indépendants de -, et alors
on aura
/?(') = Csin ^Qcos(a6-hi),
C et £ étant deux constantes arbitraires qu'il faut déterminer. Pour cela, je suppose 6 = -, tt étant la demi-circonférence dont le rayon est
Tunité; j'observe ensuite que, si l'on néglige les termes de l'ordre ~,
on a a ~ f -i — ; on a donc alors
,,('•) = Ccos[(i + i)j + «]
On voit, par l'équation (i), que, i étant impair et 6 étant -9 la valeur
de p^'^ est nulle; on a donc e = — yx, et, par conséquent, on a, quel que soit 6,
p(i)^Cs\n''hcos [(i-v- ;) ^ - j]
Pour déterminer la constante C, j'observe que, si l'on suppose i pair
TT
et égal à 25, l'équation (1) donne, lorsque 6 = -,
p(') — ir:
le signe supérieur ayant lieu si s est pair, et l'inférieur si s est impair. On a, à trës-peu près, par les formules connues, lorsque 5 est un grand
nombre,
On aura ainsi
