u = [is) *c"*'v'27r

pCOrrdr ■

ce qui donne

Va'"

L'expression générale de />^'^ est donc

cos

sind

5ar le développement des coordonnées elliptiques.

2. L'excentricité des orbes elliptiques planétaires étant peu considérable, on développe le plus souvent le rayon vecteur et Tanomalie vraie en séries ordonnées suivant ses puissances. Mais si l'excentricité, qui, dans les orbes elliptiques, ne surpasse jamais Tunité, en devenait fort approchante, on conçoit que les séries pourraient cesser d'être convergentes. Il importe donc de connaître si, parmi les valeurs comprises entre zéro et l'unité que l'excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes, et, dans ce cas, de la déterminer. Prenons pour unité le demi-grand axe de l'ellipse; désignons par e son excentricité, par / l'anomalie moyenne comptée du périgée, et par R le rayon vecteur; on aura, par le n^ 22 du Livre II de la Mécanique céleste,

cos?./

. - — :; ^3cos3/ — 3cos/j

OEuvret de L.-^\. 6o

-5 — z (4^cos4f — 4-^^COS2/)

^ ^ j i53cos5/ — 5.3»cos3f +

— ^ cos / 1

Le terme général de cette expression est

l'-^cosiV— /(/ — 2)'-*cos(i — 2)/

. '('"-')(/4)i-acos(i-4)'

la série étant continuée jusqu'à ce que l'on arrive à un facteur (i — 2r)'"* dans lequel / — 2r soit négatif. Si Ton fait / égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque i est impair, et, dans le cas de 1 pair, il devient, abstraction faite du signe, égal à

et il est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur lorsque 1 est un trës-grand nombre.

Il est facile de voir que les termes de la série

vont d'abord en croissant, et qu'ils ont un maximum après lequel ils diminuent. A ce maximum, deux termes consécutifs sont, à très-peu près, égaux. Soit

le terme maximum. Le terme qui le précède sera

en égalant donc ces deux termes, on aura

Cette équation donne la valeur de r et, par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l'on prend les logarithmes des deux membres, on a

log — - — = (/ - 2) iog|^i + i-y

ou

(*) logi^ H- log(i -h jr-i-^) = (i - 2) log (i -h -ZT^r)'

or on a, lorsque i et r sont de très-grands nombres,

log ( 1+ •: ) = -. - -+-...,

log ( 1 -h •: ) = -: r- — " — Tï -*-•..;

^\ i^irj i — nr (i — 2r)*

Téquation [b) deviendra donc, en négligeant les termes de Tordre 4»

log = -. 1

ce qui donne

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est Tunité. En Taisant r = a>i, on aura

Go.

Si l'on nomme p le terme maximum

/(i — i). . .fi — r-h i) , . ,. ,

le terme qui en est éloigné du rang / sera

(i -- r] ( I — r — I ) . ■ . ( I — r — / -4- i) (^^"1/171'^^^'^. ^ "( r 4- 1 ) ( r '^)77."[r T*/] \ T^'Vr ) '

son logarithme sera donc

\ogp -+- 1 log(i - r) ^ log (i- j^j -f- log ^i- j-^j -h...+ log (i- fZ-J.) ~ / logr — log M -i- i j - log f 1 + ^ j - . . . - log f i -4- - j