r(i -4- i)(i -f- 2). . .(i-hr)f

sa valeur très-approchée

on aura

[r { IH- r)]^(f 4-r)'.a7rc~'~'^v^r(i -h r) ^

ce qui, en observant que i-h ar est égal à iyji 4-e^ et que i-^r est égal à

/ \/i-heâ -h I

donne, pour la somme de la série (m),

En changeant c* dans — e* dans cette expression, on aura la valeur fort approchée de la série

l(lH- l) \2/ I.2(l-f-l)(/-f-2) I.2.3(l-M){l-|-2

Ces passages du positif au négatif, comme du réel à l'imaginaire, ne doivent être employés qu'avec une grande circonspection. Mais ici, e^ étant indéterminé, on peut les employer sans crainte. J'en ai reconnu d'ailleurs l'exactitude par une autre analyse. On a ainsi

Lorsque i est infini, cette valeur de 6^'^ reste toujours infiniment petite, quel que soit c, pourvu qu'il n'excède pas l'unité.

Sur le flux et reflux lunaire atmosphérique.

5. J'ai donné, à la fin du Livre XIII de mon Traité de Mécanique céleste, la théorie du flux et reflux lunaire atmosphérique. J'ai conclu les éléments de ce phénomène d'une longue suite d'observations du baromètre faites à l'Observatoire Royal pendant sept années consécutives, chaque jour à neuf heures du matin, à midi, et le soir à trois heures et à neuf heures. L'ensemble de ces observations, réduites par M. Bouvard à zéro de température, a donné cinquante-cinq millièmes de millimètre pour l'étendue entière du flux lunaire, depuis son maxi-

OKuvres de L, ^ y . 6x

muni jusqu'à son minimum» et trois heures dix-neuf minutes sexagésimales pour Theure de son maximum du soir, le jour de la syzygie. Mais j*ai reconnu par le Calcul des probabilités que cette heure et l'existence même du phénomène sensible à Paris n'ont qu'un faible degré de probabilité. Le système d'observations suivi à l'Observatoire Royal, déjà adopté dans quelques autres Observatoires, et que l'on doit désirer de voir répandu généralement, est dû à M. Ramond, qui l'a employé dans les nombreuses observations qu'il a faites à Clermont, chef-lieu du département du Puy-de-Dôme. Il l'a exposé, ainsi que les résultats qu'il en a déduits sur la variation diurne du baromètre, dans plusieurs Mémoires lus à l'Institut, et qui peuvent être regardés comme une des choses les plus intéressantes que l'on ait faites en Météorologie. M. Bouvard a confirmé ces résultats dans ses recherches, qu'il vient de perfectionner en ajoutant quatre années d'observations à celles des sept années qu'il avait considérées, et en discutant avec une attention scrupuleuse les observations de ces onze années, dans la réduction desquelles il a eu égard à la dilatation de l'échelle du baromètre.

Ce travail immense m'a fait reprendre ma théorie du flux lunaire atmosphérique. J'ai déterminé avec un soin spécial les facteurs par lesquels on doit multiplier les diverses équations de condition pour obtenir les résultats les plus avantageux, dans lesquels l'erreurmoyenne à craindre, en plus ou en moins, est un minimum. Ces facteurs ne sont point ceux que donne le procédé connu sous le nom de Méthode des moindres carrés, procédé qui n'est qu'un cas particulier de la méthode la plus avantageuse, et dont il diffère dans la plupart des questions oii il a été employé. En effet, lorsqu'il s'agit, par exemple, de corriger les éléments elliptiques du mouvement des planètes, on forme des équations de condition, en égalant chaque longitude observée à la longitude calculée par ces éléments augmentés, chacun, de sa correction. On forme ainsi un grand nombre d'équations de condition. Ensuite on multiplie chacune d'elles par le coefficient de la première correction, et l'on ajoute toutes ces équations ainsi multipliées, ce qui

SUPPLÉMENT AU V VOLUME. Ml

donne une première équation finale. En opérant de la même manière relativement à la seconde correction, à la troisième, etc., on forme autant d'équations finales qu'il y a de corrections, que Ton détermine en résolvant ces équations. Mais la longitude n'est point le résultat d'une observation directe; elle est déduite de deux observations faites avec des instruments difierents, dont l'un donne l'ascension droite de l'astre, et dont l'autre donne sa déclinaison. La loi de probabilité des erreurs de chacun de ces instruments peut n'être pas la même; de plus, ces erreurs ont, suivant la position de l'astre, une influence différente sur la longitude. La méthode des moindres carrés, dont plusieurs géomètres ont donné des preuves très-peu satisfaisantes, ne donne point ici les facteurs les plus avantageux; elle n'a plus que l'avantage d'offrir un moyen régulier de former les équations finales. J'ai présenté, dans le troisième Supplément à ma Théorie analytique des Prohabilités f l'expression générale des facteurs les plus avantageux.

M. Bouvard, ayant appliqué mes formules k toutes les observations qu'il a considérées, en a conclu que l'étendue entière du flux lunaire est de dix-huit millièmes de millimètre, et que l'heure du plein flux lunaire, le soir du jour de la syzygie, est deux heures huit minutes. Ces nouveaux résultats sont différents des premiers; mais, quoiqu'ils soient fondés sur 2g^ syzygies et autant de quadratures, dans chacune desquelles on a considéré le, second et le premier jour avant la phase, le jour même de la phase et les deux jours suivants, ils n'ont cependant qu'un faible degré de probabilité, en sorte que l'on doit jusqu'ici regarder comme incertaine l'existence sensible à Paris du flux lunaire atmosphérique. Le même nombre d'observations, faites avec le même soin à l'équateur et discuté de la même manière, indiquerait ce phénomène avec une grande probabilité. Il est vraisemblable que de pareilles observations, faites dans un port ou les marées sont trèsgrandes, tel que celui de Saint-Malo, manifesteraient le flux atmosphérique produit par l'élévation et par la dépression de l'atmosphère, dues à l'élévation et à la dépression alternatives de la surface de la mer.

49â MÉCANIQUE CÉLESTE.

M. Ramond a remarqué, le premier, que la variation diurne du baromètre de neuf heures du matin à trois heures du soir n'était pas la même dans toutes les saisons; M. Bouvard a confirmé ce résultat. Il a trouvé : i^ la variation moyenne des trois mois de novembre, décembre et janvier égale à o™™,557; a^ celle des trois mois suivants égale à o"'°,94o; 3** celle des trois mois de mai, juin et juillet égale à o°^,752; 4** celle des trois autres mois égale à o^^jSoa; ce qui donne o'"",762 pour la variation moyenne de l'année entière. Ces difierences dépendent-elles des anomalies du hasard, ou indiquent-elles des causes régulières? C'est ce que le Calcul des probabilités peut seul faire connaître. Il était donc intéressant de l'appliquer à cet objet. J'ai trouvé qu'il y a une très-grande probabilité que des causes régulières ont produit le minimum o""",557 ^® *^ variation et son maximum o"",94o, mais que les différences entre les variations o""*,752, o"'"',8o2 et la moyenne o""",762 de Tannée peuvent, sans invraisemblance, être attribuées aux anomalies du hasard.

Les i32 mois d'observations que M. Bouvard a discutées pour avoir la variation diurne du baromètre présentent ce phénomène remarquable, savoir, que la variation moyenne de neuf heures du matin à trois heures du soir a été positive pour chacun de ces mois. Je trouve, par le Calcul des probabilités, que ce phénomène, loin d'être extraordinaire, est, a priori, vraisemblable.

6. Je nomme "k l'heure sexagésimale du flux et reflux lunaire atmosphérique du soir, le jour de la syzygie, supposée arriver a midi, cette heure étant convertie en arc, à raison de la circonférence pour un jour. Je nomme R la hauteur du baromètre au-dessus de sa hauteur movenne, au moment du flux, produite par l'action de la Lune sur l'atmosphère.

Je fais

4R sinX = X, 4R cosX =/•

Soient Â/, A)., Â^. les hauteurs observées du baromètre à neuf heures sexagésimales du matin, à midi et à trois heures du soir, le jour f^^ à partir de la syzygie, i étant nul pour le jour de la syzygie, positif pour

les jours qui le suivent, et négatif pour les jours qui le précèdent. Soient pareillement B/, B^, B*- les hauteurs observées du baromètre , à neuf heures du matin, midi et trois heures du soir, le jour i**^ à partir de la quadrature. Je suis parvenu, dans le Chapitre VU du Livre XIII de la Mécanique céleste, aux deux équationâ suivantes :

(0) ^0082/^ -h jsina/^ = E,-, /cosaig — xsxïiiiq = F/,

dans lesquelles q est le moyen mouvement synodique de la Lune dans un jour, et Ton a

E,= a: -A;-hB,-B;,

F,= (aA;.-A/-AÎ-2Bi-f-B. + B;)(i-h^^;

les équations (0) donnent

[u] ar = E|C0S2/ç— YisXniiq.

On peut former autant d'équations semblables qu'il y a de syzygies et que { a de valeurs. En nommant donc n le nombre de syzygies, n étant un grand nombre; en nommant sf le nombre des valeurs de i, on aura n$' valeurs de x, d'où il faut conclure la valeur la plus avantageuse, c'est-à-dire celle dans laquelle l'erreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, est la plus petite.

On doit pour cela multiplier chacune des ns^ équations que représente l'équation {u) par un facteur convenable. J'ai fait voir dans le troisième Supplément à ma Théorie analytique des Prohabilités que, si l'on a entre les éléments x.y^z^ ... un grand nombre d'équations de condition représentées par la suivante,

le facteur le plus avantageux par lequel cette équation doit être multipliée est

JUir JLiir jL.*

I9i MÉCANIQUE CÉLESTE.

l\ k"^ ï\ if, ... dépendant des lois de probabilité des erreurs y^'\ 11*'', ...♦ de la manière suivante. Si ç^t'') ^^* '^ '^' ^^ probabilité de Ferreary^. cette loi étant supposée la même pour les erreurs positives et pour les erreurs néfratives, on a

les intégrales étant prises depuis zéro jusqu'à Pinfini; pareillement, si v>'''; est la loi de probabilité des erreurs a', on a

et ainsi du reste. Dans la question présente, y'", X'\ ... sont les

erreurs des obsenations désignées par les lettres A/ , A^ ' , A^' , B/

observations qui se rapportent au i**™" jour depuis la i*** syzy^ie. La loi des erreurs des observations étant supposée la même pour toutr-^ oes observations, on aura

le facteur précédent deviendra donc

Ç nï'2 n'^^ — n' » — ....

En désignant par y/, V» V'T/ • V • V '^^ erreurs des observa i-arr A/ , A,^ , A;^ , B/ . B/ , B; ' , et par ^' , ^, 7^', relativement aux i-nh^ dernières de ces observations, ce que représentent Jii',n\ r' rv^ic*-

v«»ment aux trois premières, on aura

m ' — — cos2ig

— ( I H 1 sinj/ç.

I I r ' r^. cof 5 /<7 — 1 I ! sin 3 iq,

nT^ — — m '\ m^- — ft ' . r'— — r<':

le facteur précédent devient ainsi

-ï-j-.(i-f- 2,324 sin'a/ç)

En réunissant toutes les valeurs de x multipliées par ce facteur, on aura

cos2i^ — sin2/7 — '—