II ^* I

!i(i — ^) i — e i(i-\-q) i-\-e i — q^ i — qe

Chacune d'elles, développée en série, donne une série convergente;

car, par la supposition, qe est moindre que Tunité. On voit donc que le terme

iA{i — i(ù)q^e'

donne une série convergente. Pareillement le terme

7r(i — 7^)2(1 — eî»)

donne une série convergente, comme il est facile de le voir en décomposant la fraction

(i-qe)^i--e^)

en fractions partielles; ^> développé en série ordonnée par rapport

aux puissances de l'excentricité, donne, par conséquent, une série convergente lorsque qe est moindre que l'unité. II est facile d'en conclure que l'expression de f — /, ainsi développée, forme une série convergente ; car, l'intégration de ds^ faisant acquérir des diviseurs à ses termes, on voit que, quel que soit /, (^ — / sera moindre que

— *fa

qui, comme on vient de le voir, forme une série convergente.

kSk MÉCANIQUE CÉLESTE.

Il résulte de ce qui précède que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vecteur et l'anomalie vraie, développés suivant les puissances de Texcentricité, est que Texcentricité soit moindre que

(o étant donné par Téquation

Les deux séries sont alors convergentes; c*est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopiques. Les valeurs supérieures de Texcentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d'autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période.

4. On développe encore les expressions de l'anomalie vraie et du rayon vecteur suivant les sinus et cosinus multiples de l'anomalie moyenne. Soit alors

v= /-ha(«>sin/-4-a(*>sin2/H-. . .4-a(') sîni7 -h.. .,

a^*\ S^\ . . . étant des fonctions de l'excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a

/(v— /)rf/sini7 = 7ra<'),

l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t égale 2??. Or on a dans ces limites, en intégrant par parties,

jdt[v- i] sinit ^ -^jdt (57 -ï) cosi7 = - j^JdtsinU ^\ on aura donc

L'équation

dv y/V-^^ dû ~ ~Râ^

donne

Au périhélie et à l'aphélie, -^ est nul; -^dt est positif, en allant du

premier de ces points au second, et négatif du second au premier. Soit k sa plus grande valeur positive ; — k sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de sini/ soient positives et égales à l'unité depuis le périhélie jusqu'à l'aphélie, et négatives et égales à — i depuis l'aphélie jusqu'au périhélie, on voit que l'inté-

dt ^jprii

grale^fir siniV / ^9 prise depuis/ nul jusqu'à / égal à 277, sera moindre,

abstraction faite du signe, que ^kiç. De là il suit que é^\ abstraction faite du signe, est moindre que

Ce terme devient nul lorsque / est infini. De plus, la série de l'expression précédente de v^ à partir de 1 supposé très-grand, est moindre

que

4AVÏEZ.

quantité qui devient nulle lorsque i est infini. Cette série est donc convergente.

Considérons de la même manière l'expression de R développée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de / et de ses multiples.

Soit

R z= 6(0) -f. 6( I ) cos /-h . . -h W' J cosf/ -h . . . ;

on aura

7r6C')=/RAcosi7,

l'intégrale étant prise depuis / nul jusqu'à / égal à 277, ce qui donne

TrftC) = — j5 I rf/ cos 1/ -jj^ •

486 MÉGANIQUE CÉLESTE.

Les formules du mouvement elliptique donnent

rf^R I - e» - R

Cette dernière quantité est toujours négative (^). Désignons par —k son maximum, et supposons cosiV égal à l'unité; on aura, abstraction

faite du signe, x6^'^ moindre que —y-» d'où il suit que la série de l'expression de R est convergente.

On peut, en suivant la méthode exposée dans le numéro précédent, déterminer la valeur approchée de 6^'^ lorsque i est un grand nombre. Pour cela, j'observe que l'expression de R, développée en série par rapport aux puissances de l'excentricité, et que nous avons rapportée dans le n° 2, donne

Le terme général de cette expression est

ar ... ^ Il -U or\ { — ^

ei |i-a

Si l'on observe que, r étant un très-grand nombre, on a, à fort peu près,

i.2.3...r.K2.3...(i + r)=r^î(i4-r)'"^'^îc-'-»^2ir,

on peut donner à ce terme la forme

( M La quantité i — ^* — R n*est pas toujours négative , puisque R varie de la valeur I — tf qui rend cette expression positive à la valeur i + e qui la rend négative; mais cette assertion inexacte n*empéche pas la conclusion d*être juste. Y. Pl

quantité qui devient nulle lorsque r est infini. La série de l'expression de 6^'^ est donc convergente.

Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série

dont le terme général est

On aura, par la méthode exposée dans le n^ % la somme de cette série fort approchée lorsque i est un très-grand nombre. Nommons p le terme précédent, et supposons qu'il soit le plus grand des termes de la série. Pour avoir le rang qu'il y occupe, on l'égalera, suivant la méthode citée, au terme qui le précède, ce qui donne

(i H-ar— a)r(i-f- r)=(i -f- ar)

d'où l'on tire, à fort peu près.

r= ly/i-^g'— /

Le terme qui suit /i, d'un rang supérieur de /, est

i-\-^r-\- it fei^^f

(r -h i) (r -h a) . . . (r -+- /)(i -h rH- i) (i -4- r -h a). . . (i -+- r 4- /)

En appliquant ici l'analyse du n'' 2, il est facile de voir que le logarithme de ce terme est, à très-peu près,

logp+ -: ha/log /logr ~

— /I0g(l -hr) : ..

Mais on a, à trës-peu près,

logr(i-4-r) = alog-9

en ne conservant donc, conformément k la méthode citée, parmi les

termes de l'ordre -9 que ceux qui sont multipliés par /*, et observant que

le logarithme du terme placé à la distance / du terme maximum sera ce terme sera donc

(i-Hr)f« p.C «'Mi-«-r)

Il est facile de voir que ce sera aussi l'expression du terme qui précède p du même intervalle /* La somme de la série (m) sera donc, à très-peu près,

p J (ifc

l'intégrale étant prise depuis / = — ao jusqu'à / = oo , ce qui donne cette somme égale à

Si dans l'expression précédente de p on substitue, au lieu du produit