LIVRE XL

à la surface des sphéroïdes attirants» que l'on trouve dans le n° 10 du Livre III cité.

M. Fourîer a donné le premier les équations fondamentales (i) et (2) dans Texcellente pièce qui a remporté le prix proposé par l'Institut sur la Théorie de la Chaleur; j'en donnerai la démonstration dans un autre Livre. J'observerai ici que les quantités / et k peuvent n'être pas rigoureusement constantes et varier avec la température Y; mais on peut, sans erreur sensible, les supposer constantes, tant que l'on ne considère que de petites variations de température.

J'ai transformé l'équation (i) en coordonnées relatives à la distance r d'une molécule du globe à son centre, à la longitude ts de cette molécule et au sinus [x. de sa latitude. Elle devient alors

En supposant ensuite Y exprimé par une suite de termes de la forme c^'Y^'^y^'^ c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et Y^'^ étant une fonction rationnelle et entière de l'ordre i en (a, v'i—- ji^sintj et y^i — ji^cosu, genre de fonctions dont j'ai fait un grand usage dans la théorie des attractions des sphéroïdes, et qui sont telles que l'on a

doj»

dft

on aura

0== r^^^ + knr^q(i)^ /(i 4. ,)ç<i).

Pour intégrer cette équation, soit

elle devient

Faisons, en observant qu'ici la caractéristique \ embrasse tous les

8i MÉCANIQUE CÉLESTE,

termes depuis s nul jusqu'à l'infini»

A et 0 étant deux constantes arbitraires. En substituant cette valeur dans Téquation différentielle précédente, et comparant séparément

les termes multipliés par —^—^f — - et ceux qui sont multipliés par — ~^^ — -j on formera les deux équations

ce qui donne

d'où l'on tire, en intégrant et faisant, comme on le peut, F^®^ = i,

le signe -h a lieu si 5 est pair, et le signe — s'il est impair. L'expression précédente de F'^'-*^ donne

ris) = (l-25)(l-^25-M) p^,j^

l[lS -{- Ij

On aura ainsi

I étant ici un nombre entier positif, cette valeur de q^^^ n'est composée que d'un nombre fini de termes. Pour en exclure, comme on doit le faire, ceux qui deviennent infinis lorsque rest nul, q^*^ étant toujours

fini, même au centre, il faut faire 0 nul si i est pair, et 0= - si i est

impair, tt étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité.

L'équation (2) donne à la surface, où nous supposerons que r devient a,