LIVRE XI

En désignant asjnk par i, et nommant Z et Z' les coefficients de  sinz et de âcosjs, dans lesquels on change z en e, on aura

Y a dt a j

+ cose(/Z'+-^H--Z).

Cette équation est transcendante ; elle donne pour e, et par conséquent pour /i, une infinité de valeurs auxquelles correspondent autant de fonctions de la forme Y^'^ et qui sont déterminées par l'état initial de la chaleur du globe.

L'équation précédente a pour une de ses racines £ = o, et la valeur correspondante de q^^ est pr*, p étant une constante arbitraire.

Si Ton développe la partie de la fonction / de l'équation (2) qui est indépendante du temps, dans une suite de la forme

Y'^'^ étant assujetti à la même équation aux différences partielles que Y^'^ l'équation (2) donnera, en comparant les fonctions semblables,

- /pa*-« Y(') ==/(3a' Y('> -/Y'(0,

ce qui donne

ainsi la partie de la chaleur Y d'un point du globe indépendante du temps et qui finit par être sa température finale est

af af

On peut observer ici que cette partie de V varie très-lentement pour la Terre, près de la surface, à cause de la grandeur du rayon a. Sa

variation est insensible dans les mines les plus profondes; ainsi Taccroissement observé dans la chaleur des mines, à mesure que Ton y descend, n*en dépend point et parait indiquer que le globe terrestre n'est point encore parvenu à son état final de température.

On représente assez bien la température moyenne des climats en la faisant proportionnelle au produit de 27 degrés centésimaux par le carré du cosinus de la latitude. En supposant donc que la valeur de Y^'^ relative à la chaleur initiale de la Terre a déjà disparu, en sorte qu'il n'y ait de sensible maintenant que la fonction de ce genre relative à la chaleur solaire, on aura

La grandeur du rayon terrestre réduit à très-peu près l'équation (4)

à celle-ci :

o=:Zsine-4-Z'cos€.

Kn y supposant successivement 1 = 0, 1 = 1, 1 = 2, ..., on verra facilement que la plus petite valeur de e, autre que e = o, est w dans le cas de i nul, x étant le rapport de la circonférence au diamètre; elle est comprise entre w et fw dans le cas de 1 = 1, entre \t: et 277 lorsque /=2, entre 27: et \t: lorsque 1 = 3, et ainsi du reste. Pour une même valeur de 1, les exponentielles c~"' disparaîtront par l'accroissement du temps les unes après les autres, l'exponentielle correspondante à la plus petite valeur de /i et de e disparaissant la dernière. Pareillement, tous les termes correspondants à ces plus petites valeurs disparaîtront dans l'ordre de grandeur de f , en sorte que , avant l'établissement de la température finale, il ne restera de sensible que le terme

Je supposerai ici la Terre parvenue à cet état, e est, comme on l'a vu, égal à x; mais l'équation (4) donne plus exactement