CHAPITRE II
SUR l'attraction des sphères et sur la répulsion des fluides élastiques
2. Newton a démontré ces deux propriétés remarquables de la loi d'attraction réciproque au carré de la distance : Tune, que la sphère attire un point situé au dehors comme si toute sa masse était réunie à son centre; l'autre, qu'un point situé au dedans d'une couche sphérique ne reçoit de son attraction aucun mouvement. J'ai fait voir dans le Livre II que, parmi toutes les lois d'attraction décroissante a l'infini par la distance, la loi de la nature est la seule qui jouisse de ces propriétés; dans toute autre loi d'attraction, l'action des sphères est modifiée par leurs dimensions. Pour déterminer ces modifications, je partirai des formules que j'ai données dans le n® 12 du Livre II, en conservant les mêmes dénominations. J'ai trouvé l'attraction d'une couche sphérique, dont u est le rayon et r est la distance d'un point extérieur à son centre, égale à la différentielle, prise par rapporta ret divisée par dr^ de la fonction
Dans cette fonction, t: est le rapport de la circonférence au diamètre, ^(r) est frdr(f^{r), et (p,(r) est /rfrç(r), (p(r) exprimant la loi de l'attraction. Enfin, l'attraction de la couche est supposée dirigée vers son centre.
Désignons fdr^{r) par ^,{r), Jdrif^r) par +,Xr), et ainsi de suite. La fonction précédente, multipliée par du et intégrée depuis u^o
couvres de L, — \ . l5
lU MÉCANIQUE CÉLESTE,
jusqu'à a = R, R étant le rayon de la sphère, devient
OU
^ttR» d^ ^;,,(r + R)~^;,,(r-R)
r dR R
La différentielle de cette fonction, prise par rapport à ret divisée par dr^ donne, pour l'attraction d'une sphère de la densité p.
Si l'on suppose la loi d'attraction ç(r) égale à r"*~*, cette formule devient, en désignant par M la masse de la sphère,
3M (r-hR)3-«-(r-R)»-«-(3-«)[(r-^R)«-»-h(r-R)«'«]Rr '^ ar^'R» (i-+-a](i-a](3-a)
Si le point attiré est à la surface, on ar = R, et cette fonction devient
A une grande distance r, la même fonction devient Mr'^-*; ce n'est donc que dans les deux cas de a = o et de a = — 3 que l'attraction à la surface de la sphère est à l'attraction à une grande distance dans le rapport donné par la loi de l'attraction, c'est-à-dire dans le rapport de
Lorsque Newton voulut reconnaître l'identité de la force qui retient la Lune dans son orbite avec la pesanteur, il supposa que la pesanteur d'un corps qui s'élève successivement de la surface de la Terre diminue suivant le rapport des distances donné par la loi d'attraction de la nature. L'exactitude de cette supposition, que ce grand géomètre a démontrée depuis, lui aurait fait voir cette identité s'il n'avait pas employé une mesure fautive de la Terre.
