LIVRE XII

Dans le cas de a = — i , le numérateur et le dénominateur de la formule (B) deviennent nuls» et Ton trouve» par les méthodes connues, que cette formule devient

Considérons présentement Tattraction d'une couche sphérique sur un point placé au dedans, à la distance r de son centre, R et / étant les rayons des surfaces extérieure et intérieure de la couche. L'attraction d'une couche dont u est le rayon, du l'épaisseur et p la densité est, par le n^ 12 du Livre II,

- d J;(m -h r) — ilfw — r) ^ dr r

Il faut intégrer cette quantité depuis M = r' jusqu'à a = R. On trouvera, par l'analyse précédente, que cette intégrale est

"P" drdfi. rR

^ drdr' rr'

En comparant cette formule à la formule (A), on voit que l'attraction de la couche sphérique sur le point intérieur est la différence des produits des attractions de la sphère intérieure dont le rayon est r sur deux points placés aux surfaces extérieure et intérieure de la couche,

multipliées respectivement par -7 et — » ce qui donne l'attraction de

la couche sur un point intérieur lorsque l'on a l'attraction de la sphère sur les points extérieurs.

Si l'on suppose le point attiré à la surface intérieure de la couche, r' devient r; en ajoutant à la formule (G) l'attraction de la sphère dont le rayon est rsur un point placé à sa surface, la formule (G) deviendra

c'est l'expression de l'attraction de la sphère dont le rayon est R sur un point de son intérieur placé à la distance r du centre. La comparaison de cette formule avec la formule (A) donne le théorème suivant :

L'attraction d'une sphère sur un point de la sur/ace d'une petite sphère intérieure concentrique à la première est à V attraction de la petite sphère sur un point de la surface de la grande comme la grande surface est à la petite.

De là il suit que l'attraction entière d'une sphère sur la surface de l'autre est la même pour chacune d'elles.

Je vais maintenant considérer l'attraction mutuelle de deux sphères l'une sur l'autre. Soient R et R' leurs rayons, p et p' leurs densités et r la distance de leurs centres. On peut considérer la première sphère comme si sa masse était réunie à son centre et attirait les points extérieurs suivant une loi d'attraction exprimée par la formule (A). En vertu de l'égalité de l'action à la réaction, un point attire une sphère comme il en est attiré; ainsi, pour avoir l'action de la seconde sphère sur la première, il faut supposer la loi d'attraction exprimée par la fonction (A). En désignant donc cette fonction par '(p(r), on aura

^'^ ^~ r dR" R '

ce qui donne f^dr\^{r)f que nous désignerons par ^^(r), égal à

Si l'on substitue cette valeur de '^{r) au lieu de ^r) dans la formule (A), cette formule donnera, pour l'attraction de la seconde sphère sur la première,

( 4;.(rH-R4-R')-ij;,(r+R-R') ) (E) 4îr»pp R^R ^^g-jï(7 ^^^ ,

ce sera aussi l'attraction de la première sphère sur la seconde, c'està-dire que Ton peut supposer les deux sphères réunies respectivement

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à leurs centres et agissant l'une sur Tautre suivant une loi d'attraction exprimée par la fonction (E) divisée par le produit des masses ou par

Dans les sept intégrations qui déterminent ^t(^)' ûu ne doit point s'inquiéter de l'origine de chaque intégrale. Cette origine peut être différente à chaque intégration, sans qu'il en résulte aucun changement dans la formule (E). En effet, un changement arbitraire d'origine à chaque intégration introduit dans la fonction ^,(r), dérivée de <p(r), la fonction

ArT-h AC«)r5-4- A(2)r«-i- AC»)r»-4- A(*>r«-4- A(«)r-h A(«),

A, A^*\ ... étant des constantes arbitraires, et il est facile de voir que cette fonction, substituée pour ^/r) dans la formule (E), la rend identiquement nulle.

Si l'on suppose <p(r) = -^j on aura

et la formule (E) devient

c'est-à-dire que les deux sphères s'attirent comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres, ce qui est conforme à ce que Newton a démontré.

3. Les formules précédentes s'appliquent évidemment à la répulsion des fluides élastiques contenus dans des enveloppes sphériques, pourvu que la densité du fluide soit partout la même.

Si l'on nomme p la pression du fluide, et si l'on désigne par 9 la force répulsive d'une sphère fluide dont R est le rayon et p la densité sur un point placé à la distance r de son centre et qui éprouve la prei^ sion/7, on aura, par le n** 17 du Livre I,

dp := p9 rfr,

dr étant Télément de la direction de la force répulsive qui agit en sens contraire de la force attractive, ç est la fonction (D); f^dr est donc cette fonction, dans laquelle on supprime la différentiation .par rapport à r, et alors on a

(F) /i = consl.-h27rp^ — -r^ -^^-f^ vt

Newton a supposé entre les molécules de Tair une force répulsive réciproque à leur distance, ce qui revient à supposer (p(r) = i- Cette supposition donne

Cette valeur, substituée dans la fonction (F), est loin de représenter les observations, qui donnent/? constant; aussi ce grand géomètre ne donne -t- il à cette loi de répulsion qu'une sphère d'activité d'une étendue insensible. Mais la manière dont il explique ce défaut de continuité est bien peu satisfaisante. Il faut sans doute admettre entre les molécules de l'air une force répulsive qui ne soit sensible qu'à des distances imperceptibles; la difficulté consiste à en déduire les lois que présentent les fluides élastiques. C'est ce que l'on peut faire par les considérations suivantes.

J'observe d'abord que, une molécule de gaz ou de fluide élastique, contenue dans une enveloppe sphérique, n'étant point en contact avec les molécules voisines, elle doit être en équilibre, en vertu de toutes les forces répulsives qu'elle éprouve, en sorte que ç doit être nul dans

l'équation

dp = p(j> dr,

ce qui donne la pression p constante dans toute l'étendue du fluide. En supposant donc, conformément à l'expérience, la pression p fonction de la densité dans les fluides élastiques à une température constante, on voit que la densité p doit être supposée la même dans toutes les parties du fluide. Nous démontrerons ci-après ce résultat de l'expérience pour tous les points du fluide placés à une distance de l'enve-