LIVRE XL

également attiré de toutes parts. Ainsi, à la surface d'une couche terrestre» les couches supérieures n'ont aucune influence sur la gravité, qui, par conséquent, est la même qu'au pôle de l'ellipsoïde terminé par la surface de cette couche. Or, il est facile de voir que la gravité des points semblablement situés sur les surfaces de deux corps homogènes, semblables et de même densité, est proportionnelle aux dimensions linéaires et semblables de ces corps. Cela résulte de ce que, l'attraction étant égale à la masse divisée par le carré de la distance, elle n'est que d'une dimension relativement à l'étendue. De là il suit que, le poids de la colonne du pôle étant la somme des gravités aux surfaces des diverses couches, il est égal au produit de la pesanteur au pôle par la moitié de la longueur de cette colonne ou par le quart de l'axe du pôle. Un raisonnement semblable fait voir que le poids de la colonne de l'équateur est le produit de la pesanteur à l'équateur par le quart dû demi-axe de l'équateur. Car la pesanteur à l'équateur est la gravité diminuée de la force centrifuge, et cette force diminue de la surface au centre comme la gravité, c'est-à-dire proportionnellement à la distance à ce point. Ainsi, dans l'état d'équilibre, le produit de la gravité au pôle par l'axe du pôle est égal au produit de la pesanteur à l'équateur par l'axe de l'équateur.

Pour avoir au pôle la gravité, qui, sur ce point, est la pesanteur même, Newton considère un ellipsoïde de révolution dont l'axe de révolution contient loo parties et l'axe de l'équateur loi, et il trouve, au moyen des propositions qu'il établit sur la gravité aux pôles des sphéroïdes de révolution, que la gravité au pôle de cet ellipsoïde est à la gravité à la surface d'une sphère dont le diamètre est de loo parties comme 126 est à i^S.

Newton obtient de la manière suivante la gravité à un point quelconque A de l'équateur du même ellipsoïde. Il considère une sphère ayant le même centre que l'ellipsoïde, dont la surface passe par le point A et dont le diamètre est, par conséquent, de loi parties, et il observe que, si l'on diminue de i partie un des diamètres perpendiculaires à celui qui passe par le point A, de manière que ce diamètre

ainsi diminué devienne l'axe d*un ellipsoïde de révolution passant par le même point, ce point sera un point de l'équateur de cet ellipsoïde. Newton remarque ensuite que, si Ton diminue pareillement de i partie le diamètre de la sphère perpendiculaire aux deux premiers, on aura un second ellipsoïde de révolution dont A sera encore un point de l'équateur. Si Ton fait varier à la fois les deux derniers diamètres, on aura un ellipsoïde de révolution dont A sera le pôle et dont l'axe de révolution aura ici parties, l'axe de l'équateur n'en ayant que loo. Dans cet ellipsoïde, la gravité au pôle est à la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de ici parties comme isS est à 1:26. Mais, par la nature des variations très petites de deux quantités, la diminution de la gravité due à la diminution simultanée des deux diamètres est la somme des diminutions de la gravité lorsqu'on diminue le second diamètre sans diminuer le troisième et lorsqu'on diminue le troisième sans diminuer le second, et cette somme est le double de l'excès de la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de loi parties sur la gravité à l'équateur de l'ellipsoïde dont, l'axe de l'équateur étant de ICI parties, l'axe du pôle est de 100 parties. De là il est aisé de

conclure que cet excès est-*—- gde la gravité à la surface de cette

sphère. Mais cette gravité est à la gravité à la surface de la sphère dont le diamètre est de 100 parties comme loi est à 100, d'où l'on conclut que la gravité au pôle de l'ellipsoïde supposé primitivement est à la

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gravité à son équateur comme — ? • 100 est à — ^-101, ou, à très-peu

près, comme 5oi est à 5oo. Désignons par 9 le rapport de la force centrifuge à la gt*avité à l'équateur; les pesanteurs au pôle et à l'équateur de l'ellipsoïde seront donc dans le rapport de 5oi à 5oo (i — f ). Ces pesanteurs, multipliées respectivement par les longueurs des colonnes fluides ou par 100 et loi, sont proportionnelles aux poids de ces colonnes. Ainsi, pour l'égalité de ces poids ou pour l'équilibre, le produit de 5oi par 100 doit égaler le produit de 5oo (1 — f ) par 101,

ce qui donne, à fort peu près, 9 égal à g^ ou égal à ^ de l'aplatisse-