Le premier terme du développement de log Ve étant
—97rav
e-?2xav, nous considérons d’abord au lieu de R,
1—e y2ne—-27av æ ee aS= | do+ | — dv
ou, en posant xa—n +1,
l—Ee —v\2n —v\2n aSn= | LE dot [| Le ç- 2nv dv.
0 Es Le développement de $, n’est plus à trouver, nous pouvons l'écrire aussitôt d'après le résultat que nous avons obtenu dans le n° 8. En conservant seulement le terme principal, il vient
Se (n +55) 1 Ke
Nous avons à évaluer maintenant l’erreur qu’on commet en prenant Sn au lieu de R,. Pour cela, nous développons en série le logarithme:
le + 1ème terme donne lieu à cette partie de R,
1 D y2n e—2xa(k+l)v a(k + 1) + 1%
En développant
1 y2nk
ant du BA M ER US ce
on trouve 1 T'(2n+1) r(2n+3) a (k + 1) A2r+1 + An +3 h:-
l'2nk+2n—1) 0 y2nk+1) g—Av + Ank+2n—1 + V. D. | UNIT DAV TMS dv ,
en écrivant, pour abréger, 2x a(k+1)= A.
Les termes diminuent d’abord et l'intégrale est de l'ordre du der-
nier terme. C'est ce qui résulte, en effet, de la discussion que nous
Ê : ‘ ‘°sinau avons faite de la série semi-convergente pour | 1H du (n° 8) La
quantité à évaluer est donc positive, mais n’atteindra pas nk fois le premier terme ou nk T(2n+1) n(k+1) A2*+1
En remplaçant l'(2n +1) par sa valeur asymptotique 2 / D n\8 av Cf
on trouve, à cause de xa = n +7,
nk sal n 12* an (k+1}"+2 za tn)
à Ë n 2n ou , si nous remplaçons za par n, (+) par e7°1,
n k 11 n 1 OR 2 nié LEE ma" rom element le
La somme des termes négligés ne surpasse donc pas
ù à 1 1 1 \ tas | X n Gr + 3m + +...)
5 & SR FT Pre OE
T étant une fonction qui converge vers 1 pour n—«.
ou
On voit que le facteur qui multiplie e-2xa VS décroît plus rapide-
ment qu'aucune puissance négative de »; d’où l’on conclut que, pour développer R,, suivant les puissances décroissantes de n, on doit s’en tenir à $,, les parties négligées n'ayant aucune influence sur ce développement. A l’aide du n°8, nous obtenons maintenant
+ 1 1 1 1 11\1 mes —27ra ——— —. —— MUR AS et ends rl mer — sal) + (9 n 12 ? 50) à a:
(39) l 328 \ 1 + m7 dr 5? ve x" +7 1 + rs)
On en conclut la solution approchée de l’ dc Rx = 0 par l'une ou l’autre des formules
(40). . . sa=n—> 12960 n — 3265920 n° Ÿ 1 199
RAR se jui 248 PRNET fs en
La série étant composée des mêmes termes que ceux de la série de Stirling, l'indice du plus petit terme sera encore, d'après M. Bourguet,
le premier nombre entier supérieur à x a + + + ———. On voit donc
que le changement de signe de R, s'opère ee le voisinage du plus petit terme, comme cela arrivait aussi dans les autres séries de seconde espèce que nous avons étudiées
17. Pour avoir une idée de l’approximation avec laquelle nous avons résolu l'équation R,—0, nous avons pris n —3 dans la formule (40),
nn
ce qui fournit cette valeur approchée de a, qui est un peu inférieure à l'unité a—0,9300. (En prenant n —1, 2, on serait conduit évidemment à des valeurs de a beaucoup trop petites pour songer à appliquer la série semi convergente.) Pour résoudre l’équation R; = 0 rigoureusement, il nous faut un moyen de calculer © avec exactitude. Pour cela, nous remarquons que la série bien connue
log (x) = — log x — € x + 4 So 2° — E Sa 2° + ES, 2 —...
donne, en remplaçant x par ai, TT 9=—— — Ca+EkS;a—1}$S;ai+x4S,; a...
Pour augmenter la convergence, nous écrirons
O = — 4 — are tang a + (1 — © a
+ (83 — Da — 4 (8; — 1 a + + (8 — Da —
L'équation à résoudre étant
nm, he, 1e 1 4 12a 360 1260 aÿ*
O = a log a — à —
nous trouvons que la racine est comprise entre 0,9276 et 0,9277. L'ap-
proximation est très suffisante; même pour 4 = 1, la formule (41) donne
la racine de R, —0 par rapport à n, avec une erreur inférieure à 0,01. Nous résumons ici le résultat que nous avons obtenu :
! l'(ai—=Ref!,
su = ie,
= a log a — 22 + Br R (42) (© SET 4, 1:90: Sad 00/2 nement al 7 NERO TS e—2ra Ordre d’approximation ..... AT \ pproximatio re
Pour a—1, N — 3,22; en appliquant le procédé indiqué dans l'in-
troduction , il vient
On obtient deux limites en prenant 1=—0, 1—1; la valeur 1 — 0,22 donne une valeur plus approchée
La valeur exacte est
18. Supposons que la variable 2 décrive la partie positive de l’axe imaginaire, alors nous pouvons indiquer Sur se comporte la fonc- =
1 1 tion holomorphe TG) En effet, ayant » p ©t —Osont
r Fa î) — les coordonnées polaires du point qui PE us; et nous voyons
que ce point décrit une spirale, le rayon vecteur se mouvant dans le sens négatif et croissant rapidement. L’angle de la courbe et du rayon
vecteur , dont la tangente est à peu près égale à — log a, tend vers 90°.
Nous avons dressé la petite Table suivante pour faire connaître la forme de la courbe dans le voisinage de l’origine:
a — 0 2 a — 0 o / o / 55 90. 0,0 O0 CT PRES 82.34,3 13,056 “4 96.26,1 0,207 22: 78.51,1 18,747 ne. 101.52,1 0,453 PUUREE 64. 7,6 26,808 nn 105.37,6 0,784 Loi. : 53.28,4 38,202 nn 107.25,9 1,250 S9int.. 41.57,7 54,277 À: 107.17,0 1,917 Bis sd 29.38,8 76,919 cu 105.19,0 2,877 + gere 16.35,0 108,765 PR pont 101.423 4,256 FU 248,9 153,493 LS 96.37,0 6,230 1,5. UNS 28 — 11.37,0 216,241 7 1 90.11,7 9,047 sh. — 26.40,7 304,170 | + : MEN 82.34,3 13,056 RITES — 42.20,2 427,271
L'angle — 9 commence à croître de 90° jusqu’à un certain maximum, dont voici la détermination
Après avoir dépassé ce maximum, l'angle — @ décroît constamment.
19. D'après ce qui précède, il est permis de changer a en ai dans la série de Stirling ; en arrêtant la série à son plus petit terme, l’erreur est du même ordre que ce terme. L’examen des conditions sous lesquelles on peut se servir de cette série pour des valeurs imaginaires quelconques de la variable se présente naturellement, mais nous ne l’aborderons pas. Nous rappelons seulement que, dans le Tome 56 du Journal de Crelle, M. Lipschitz est arrivé au résultat suivant
B B, log (2) —+# log 2 x +(2— 4)logz-—2 Tite EEE RIT
me ; Pt By +1 e+e'i A0 Te = GnLDen+ gti?
e et &’ restant compris dans les limites + 1. On suppose de plus que la
