KART AN

log L'(a)= (a — #)loga— a +3 lo82r+ ff + ——— du.

13. En établissant cette formule, on a en vue ordinairement seulement les valeurs réelles de a. On voit cependant facilement que rien n’empêche d'attribuer à a une valeur imaginaire quelconque, à la condition toutefois que la partie réelle de à soit positive. Les logarithmes qui entrent dans la formule ont une détermination unique par la condition même que la variable ne doit jamais franchir l’axe des y.

Cependant, comme nous voulons changer a en ai, quantité dont la partie réelle est nulle, il est nécessaire de justifier cette opération.

Évidemment, cette application de la formule de Binet sera justifiée si nous faisons voir :

1° Que l'intégrale

a un sens; 2 Que cette intégrale est la limite vers laquelle tend

Le) 1 1 1\e—-bu—-aui f Du é ee au lorsque la quantité positive b décroît indéfiniment. Le premier point est à peu près évident, car la fonction

1 1 A) À 4 2 Gi uts)r=Lapare

qui entre dans les intégrales e 1 825 . l 1 1\sin au fr “1 x +5 es Î NI Tale 0 0 est positive et décroissante; elle devient infiniment petite pour u = «. Le second point à établir revient à montrer que les intégrales

his ñ p (u) — p—bu M=| STE —e ) cos au du,

N=f Cao — 67?) sin au du, U

où nous avons posé

p (u) = convergent vers zéro en même temps que b.

u Nous remarquons que les fonctions y (u) et 7° ) ont toujours finies,

et décomposons M en trois parties

ri M, = PO eu) cos au du,

Fr M = | PO —e-v0) cos au du, M; =f" 2e 0 — 6e?) cos au du.

On a évidemment IMI<a—e-nf Peau,

donc lim M, —0 pour b—0.

Ensuite 1 à

Vs | M, | </ (2 — 6e?) du (1 UE an,

| M, | <a—e-Vhp@e V3, |

£ désignant une valeur entre 1 et Vs On en conclut

lim M, = 0.

Quant à M,, en appliquant le second théorème de la moyenne, b n b ['rav@as=rtf vodr+ 1] vtde, a a n

où la fonction f(x) doit varier toujours dans le même sens,

M; = (1 — eV fe Hi 0 cos au du.

Mais l'intégrale [” his cos au du ayant un sens, les deux intégrales qui figurent au ue membre convergent vers zéro et lim M, = 0. On conclut de tout ce qui précède lim M = 0, et la même démonstration s'applique à l'intégrale N; donc aussi lim N — 0. D'après cela, il est permis de changer a en ai dans la formule de Binet, et nous obtenons ainsi

(33) . gR=}log2a—ploga—jrat | à cos au du,

(ne) “à : . 6=alga—a— | PU) sin au du.

14. Nous avons à transformer d’abord les intégrales qui figurent dans les second membres. Soit

v=f" Peau,

: Et 2u , en substituant > HE dns rs au lieu de (uw), nous trouvons

2etuiqu D, 1 f” e2anaui Lin ju TT D ETS 1+ Me

Nous avons vu déjà (n° 7) qu'il est permis de remplacer, dans l’inté-

'E e2rnaui d

DE MERE ds id : À” 1 Lu ; j +

l'intégration le long de l'axe des x, par une intégration le long de l'axe des y, en évitant par un petit demi-cercle de rayon & le point :.

grale

On obtient ainsi

ERA er ( 1—-ee—-2xnav dy D p—2nnav 2 ° Lu l 1 — 1° + 1— 1°

et, par conséquent,

1 1 NET a ER de

ME rie dt 1 T's 0 1 +i(f 1208 1—5-iver ne à Dee 0 1+e

donc Rat SE :

(35) . ui y Sau du log,

Le) l1—Ee | LATE au au= + f UE :

U 4 ET tas

En portant la valeur (35) dans la formule (33), on retombe sur la valeur finie de R déjà donnée [formule (31)].

15. En employant dans le second membre de la formule (36) l’identité Re Lon-2L v 1— 0° . 1— 1°?

on trouve, en ayant égard à la formule

É re 1 Be 37 MT 2k—2 — ii, x J Vo, REp—ertar Pa 1)24481

(qu’on obtient en développant en série le logarithme),

sé p (u) ‘ D. B> = (38) / , node ds TN Danarn 1 +R À 1—ey2rdy + ring 1 R=, | 1— à 18 ; __p-2nav =} — 8] pr née .

C'est la série semi-convergente que nous avions en vue; le terme complémentaire se présente sous la forme de la valeur principale de

2 f v2rdv 1

1 — e—2nav

Il est intéressant de rapprocher de cette formule la forme du terme complémentaire dans le cas de la série de Stirling [formule (28)].

La série étant de seconde espèce, il nous reste à déterminer approximativement la racine de l’équation R;,—0. Pour cela, nous développons d’abord R, suivant les puissances descendantes de n.