di

Li — 7, ik Vk;

et en remplaçant les équations (1) par des combinaisons convenables, on peut obtenir un système absolument équivalent

(an+u—=0, eum+w—=0, ..., ep0p+up=0, Up+1=0, Up+2=0, 5) Un == 0,

Dans cette transformation les rangs de || A | et de || A’||se conservent, de même que les p. g. c. d. des déterminants du degré k. Puisqu’on suppose que le rang de || A’|| est —p, les déterminants du degré p + 1

CE 62... Ep Up+1;, CE, E... CpUp+2; ….., CE 02: Cp Um doivent s'annuler ; donc Up+1=Up+2—=.. MS À:

ce qui montre que les équations (Il) ne sont pas incompatibles. De plus, les déterminants du degré p de la matrice || A’|| transformée

C6... Cp) U Co €g ee. Cp) Ci Uo Eg + . . Ep; ….., CE Ce + Ep —1 Up

doivent être divisibles par e, e, ...en. Donc %,, %,..., %, sont divisibles par &,@,...,e9 respectivement, en sorte que les équations (IT) sont satisfaites par des valeurs entières de v,,%,..., Up. C. Q. F. D.

La plupart des résultats de ce Chapitre sont dus à M. Smith; un seul, le théorème VIII avait été obtenu antérieurement par M. I. Heger. Le même sujet a été repris ensuite par M. Frobenius qui a introduit la forme bilinéaire. Le Mémoire de M. Frobenius contient encore d’autres applications intéressantes à la théorie algébrique des formes bilinéaires.