Soit enfin le système

diiti+ai2t2 +... +aintn—=©u; (mod M), (= 1,9... m0).

et désignons toujours par

di

L'nbr MR tust,+ 0 di

= CÉ-DSS PER i—1

les invariants de la matrice complétée.

La condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait des solutions s'obtient à l’aide du théorème VIII sous la forme

| 6 (Mrtm,Mrtm-1iq,, Mr", ..., M° du) (D ) npntm, Mntm15,, Mntm-28,,...,Mm-18,4) ou, après une réduction facile, (a!) | MX(M,e)X(M,&4) X...X (M, eh)

=(M,e) X(M, 6) X... X (M,en+i).

Mais puisque (M, ex) divise (M, ex), on a nécessairement

Éd rs dures irte nie SEE (mod M).

Par conséquent M” 6, divise M”"—16,41, et au lieu de (a) on peut écrire (Mr+m,Mr+m-1q,...,M"d,)

—(Mn+m, Mntm-16,, ..., M"Ô,), ce qui revient encore à RTS ns ds lt hs CR si l’on pose comme précédemment

C=(M,e)X(M,4)X...X(M, en),

r=N, XX. XX

Pour qu'il y ait des solutions, les conditions (1) et (2) sont nécessaires et suffisantes. Le nombre des conditions s'obtient sans difficulté ; il est égal à C.

85. Les méthodes développées à partir du n° 22 permettent de retrouver avec facilité la plupart des résultats obtenus dans la première Partie de ce Chapitre. Nous nous bornerons à déduire de cette façon le théorème VIII sous une forme plus générale. Considérons donc les équations non homogènes (1) did aim +... + ain Œn + Gin+1 = 0 Gam+t,2,...,m) sans faire aucune hypothèse sur m et n. Soient || A || et || A’|| la matrice du système et la matrice complétée. Si l’on prend # des m équations et que l’on considère tous les déterminants du degré 4 qu’on peut former avec leurs coefficients, ces déterminants appartiennent en partie à la matrice ||A/|. Mais, si le système (1) admet une solution, on pourra remplacer les a;,+1 par leurs valeurs

— (ai1t + aie +... Lainxh),

en sorte que chaque déterminant de || A’|| s'exprime en fonction linéaire homogène des déterminants de ||A|. Dans tous les 4 équations, le p. g. c. d. des déterminants de || A|| est donc égal au p. g. c. d. des déterminants de || A’|. D’où l’on conclut le p. g. c. d. de tous les déterminants du degré k est le même pour les deux matrices || A || et | A’|. Ce sont là des conditions nécessaires pour que le système (I) admette des solutions. Mais ces conditions ne sont pas toutes indépendantes, comme cela résulte du théorème suivant :

Théorème XIII. — Pour que le système (1) admette une ou plusieurs solutions, il faut et il suffit que le rang p de |A || soit égal au rang de || A’|, et que le p. ©. c. d. des déterminants du degré p soit le même pour les matrices || A || et || A’ ||.

Nous avons à démontrer seulement que ces conditions sont suffi santes. Or, par une substitution