Je vais considérer d’abord l'intégrale
+ SCRNNRSS 2 fl (cos ù + a sin u)" sine 2" du = f(m, n),
m et n étant des entiers >0.
En développant
(cos # + a sin u}" sin” u,
suivant les sinus et cosinus des multiples de , il faut distinguer deux cas, selon que m+n est pair ou impair.
Dans le premier cas on obtient une expression de la forme
a + a! cos 2u + a” cos 4u +... + aË) cos (m + n) w B' sin 2u + 8" sin4u +...—+ BA) sin(m+n)u,
et dans le second cas une expression de la forme a cos # + a cos 3u +...—+ a) cos(m+n)u, + 8 sin w + B' sin 3u + ...—+ BU) sin (m + n) u. Ayant ensuite
. x Le x p COS pue T4 Qu = ———— si UE TU QU—= —— ——© 5 J # Frpod” a+ p
on reconnaît que f(m, n) est une fonction rationnelle en x, dont le
dénominateur est du degré m+n+ 1, et le numérateur d’un degré inférieur à m + n + 1. Ce dénominateur est pour m+n pair = 2 (2? + 22)(x° + 42)... {2x L(m+n})}, et pour m+n impair | = (2? + 12) (x? + 82) (2? + 5°)... Ex? + (m + n}1.
On voit par là que f(m, n) est développable en série convergente suivant les puissances descendantes de x, tant que x est suffisamment grand (x>m—+n). Or pour obtenir directement ce développement, il suffit d'écrire
(cos u + a sin uw)" sintu—=u"+au+tlitaurtit.,,, d’où l’on conclut
fm, n)=1.2.38...n. ET en L PACE IICE ele LEE F
Par conséquent le numérateur de f(m,n) est du degré m et le coefficient de 2" est 1.2...n. En écrivant
RL. f(m,n)=1.2.8...n.
où B=— x (x? + 2?) (x? + 42)... fa? + (m + nŸ} lorsque m+n pair, B— (2? + 12) (x? + 87)... 2x? + (m + n}3 lorsque m + n impair, le numérateur A est par conséquent un polynôme du degré m en x, le coefficient de x" étant l’unité.
Voici maintenant ce qui paraît être la manière la plus simple de définir ce polynôme A.
A est le dénominateur de la fraction continue
Ainsi pour m—=0, Al=l, m=1l, A=x+(n<+ti)a, m=2, A=(x+na)ix+(n+2)ai—+i(n+2)(a +1), &c.
2. Pour établir ce résultat, je remarque d’abord que l'intégration par parties donne
F e f(cosu + a sin u)" sinue—?" du—=— ù
(cos w + a sin u)" sin” # +
He Ze Je-svçn (cos # +- a sin uw)” sin” —1% cos 4 +- + m (cos u + a sin u)"—1 sin" # (a cos u — sin w)] du. La quantité entre [| ] qui multiplie e-*# sous le signe : dans le second membre peut s’écrire (cos # + a sin u)"—1 sin" 1 ÿ{n (cos w + a sin u}? + + a (m — n) sin u (cos # + a sin w) — m (a? + 1) sin? uw}, en sorte qu’on obtient xfim,n=aim—mf(m,n)+nfim+1,n—1) — É: —m{(a@ + 1)f(m—1,n +1), lorsque n > 0, et pour n—=0, (5) . . . xf(m,0)=amf(im,0)+1—m(& +1)f(m—1, 1). On voit que la relation (4) reste encore vraie pour n—=0, si l’on adopte cette convention de remplacer alors nfim+1,n—1) par l'unité; c’est ce que nous ferons désormais. On a ainsi (6) [x+a(n—m)lf(m,n)=nfim+1,n—1)—m(a+1f(m—1,n+1), et cette relation reste vraie même pour n—0 ou m—=0. Posons
f{m, 1) nfim+1,n—1
donc
a fim—1,n+1) PRES PET TE 0
bn TT la relation (6) pourra s’écrire
z+n—matmnE+D(@+Dpm—1,n+1
d’où l’on conclut pour m—0 la valeur explicite de (0, n) et dans le cas général :
1 m (n + 1) (a? + 1) Haba æ+(n—m)a+ x +(n—m+2)a +
qm—lin+2(@+nD 1m+m@+1
x+n—m+t4a+ """ xz+n+m)a La valeur de w(m, n) est donc de cette forme P(m,n) QU, n) P(m,n)=x"—+ ..,Q(m,n=x"+1—+..., étant des polynômes des degrés m et m + 1 respectivement. Lorsque n —0, la formule (7) . donne directement la valeur de l'intégrale
(0)... so NME AOUR, N) =
['(cos u+asinu)"e-*“ qu
‘0 sous la forme d’une fraction continue. Mais il est facile maintenant d’obtenir l'expression générale de f(m, n).
En effet ayant fim,n)=np(im,n)fim+1,;n—1, on en déduit | fim,n)=1.2.3...n.p(m,n)g(im+il,n—1)...p(m+n—1,1)f{m+n,0), —=1.2......n.p(mn)p(m+i,n—1)...p(im+}+n—1, l)p(m+n, 0),
ou encore
Pim,n) ,,Pim+l,n—1) P(m+n,0) "Q(m,n) ° Qim+l,n—1) Q(m—+n, 0)
Mais si l'on écrit les fractions continues, on reconnaît immédiate-
NL. S...h » ph
ment que Q(im,n—=P(m+1,n—1),
en sorte que l'expression précédente se réduit à
P(m,n) dE 4 CT Qim—1,n+1 ‘Qim+n,0 ‘"‘""" Qim+n,0)
C’est là le résultat que nous avons annoncé; il est à peine nécessaire de dire que Q(m+n,0)=B
