SUR UNE APPLICATION DES FRACTIONS CONTINUES

Si ces conditions se trouvent vérifiées, on a pe]

Ps} 0+ 5° ———

1 - , Les pôles a, sont naturellement tous réels et Z :, le premier d’entre

1 " # eux est 4 =>: Les coefficients m, sont positifs, C est une constante

positive ou nulle dont la valeur peut s'exprimer ainsi :

. dAn+1 C —= lim (a, Sie ù .

00 Jeu

(Paris, C.-R., Acad. Sci., 118, 1894, 1401—1403).

Recherches sur les fractions continues.

(Mémoire, présenté par M. Hermite.) (Extrait par l’auteur.)

(Renvoi à la Section de Géométrie.)

1. L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue l:az+tl:æm+l:az+l:a+..., où z est une variable imaginaire et 4,, 4,, 4, ... sont des nombres réels

positifs.

Deux cas sont à distinguer selon que la série

(8)... … : . a tFaehG#+Aase est convergente ou divergente.

L'étude du premier cas est de beaucoup la plus simple et conduit aux résultats suivants.

Dans le cas où la série (S) est convergente, les réduites d'ordre pair et les réduites d'ordre impair tendent vers deux limites différentes

DAR} SC EE re q (8)... q(e) Ici p(z), g(2), p, (2), a (e) sont des fonctions holomorphes dans tout le plan, ce sont des fonctions entières de + du genre zéro. Ces fonctions

n’admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs, et

P (z) du Gé ve HR Me qU) 544 0e+2 a

P1(&) 7 Pt MECS do te) % PE ps

2. Avant d'aller plus loin, considérons le développement de la fraction continue suivant les puissances descendantes de z. Ce développement se présente sous la forme

Co __ Ci Cy Cg à à LT F ja MODE

z les coefficients c,, étant positifs et le rapport

En+1 Cn croît constamment avec r. Deux cas peuvent se présenter : ou bien ce rapport tend vers une limite finie 2 et alors la série (S,) est convergente pour |z! > 1, on bien ce rapport croît au delà de toute limite, et alors la série (S,) est toujours divergente.

Nous trouvons que le premier cas a lieu lorsque les nombres

Ann +1 ER 0 AE PS sont limités supérieurement. Dans le cas contraire, c’est le second cas qui a lieu.

3. Considérons le cas où la série (S) est divergente. Nous trouvons d’abord que les réduites d’ordre pair ou impair tendent vers une même limite F(2), la fraction continue est convergente, et cela pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de 2 : il faut faire exception seulement pour les valeurs réelles négatives.

La partie négative de l'axe réel est ainsi une ligne singulière.

La fonction F(2) est une fonction analytique holomorphe dans tout le domaine que nous venons d’indiquer.

Pour obtenir ce résultat nous nous appuyons surtout sur un théorème de la théorie des fonctions qu’on peut énoncer ainsi. Soit

fi @), f2 (2), 13(2),...,/n(e),. …

une suite infinie de fonctions analytiques holomorphes dans un domaine S limité par un contour s. Si le module de la somme

fe) + R() +... + fn)

admet une limite supérieure L, indépendante de n, tant que z est dans S ou sur s; si ensuite la série

est uniformément convergente dans un cercle quelconque C compris entièrement dans S, alors on peut affirmer que cette mème série est uniformément convergente dans tout le domaine S, et F (2) est holomorphe dans le même domaine.

4. Le résultat précédent laisse obscure la nature de la ligne singulière ; pour éclaircir ce dernier point nous montrons que la fonction F (2) peus se mettre sous cette nouvelle forme analytique

RS a à (ss) 7° D(ulfd'uÿ Fa] z+u ") (z + uŸ

Ici d (u) est une fonction réelle et croissante

d (0) — 0, bo) mais elle peut avoir des sauts brusques dans tout intervalle, et aussi elle n’est nullement assujettie à être une fonction analytique. Cela suffit pour montrer qu’en général la ligne essentielle met un obstacle infranchissable à la continuation analytique de F (2).

Lorsque le rapport c, 41 : «, tend vers une limite finie À, la fonction & (u) est constante à partir de “ — À et l’expression de F (+) se réduit à

ref pu:

formule dans laquelle + (“) peut être une fonction croissante absolu-

ment quelconque.

5. Dans la dernière partie de notre travail, nous faisons quelques applications de la théorie qu’on vient de résumer.

L'étude, au point de vue de la convergence, de la fraction continue

fo,

PT

y (u) étant une fonction croissante quelconque, n'offre plus de diffi-

cultés.

Comme résultat particulier, nous montrons qu'il suffit de trans-

qui provient d'une intégrale

former la série de Stirling

a B2 B; DT, sit scr:::

en fraction continue

l:az+l:amz+l:az+..., pour avoir une expression convergente qui représente J (z) tant que la partie réelle de 2 est positive.

(Ann. Fac. Sci. Toulouse, 8, 1894, J. 1—122,9, 1805, À. 1—47.)

Recherches sur les fractions continues.