INTRODUCTION

L'objet de ce travail est l'étude de la fraction continue

He :

dans laquelle les a; sont des nombres réels et positifs, tandis que z est une variable qui peut prendre toutes les valeurs réelles ou imaginaires. P, (2) Qn (2)

miers coefficients a;, nous chercherons dans quels cas cette réduite

En désignant par la nième réduite qui ne dépend que des n pre-

tend vers une limite pour n = « et nous aurons à approfondir la nature de cette limite considérée comme une fonction de 2.

Nous allons résumer le résultat le plus essentiel de cette étude. Il y a deux cas à distinguer.

a Premier cas. — La série > ah est convergente.

Dans ce cas, on a, pour toute valeur finie de 2, lim Pon = D (2), lim Qon (2) = 9 (2), lim Pon+1(2) = P: (@); lim Qon+1 (2) = % (@),

p (2), q (2), Pi (2), 4 (2) étant des fonctions holomorphes dans tout le plan qui satisfont à la relation

Ces fonctions sont du genre zéro et n’admettent que des zéros simples qui sont réels et négatifs.

Les réduites d'ordre pair et les réduites d'ordre impair tendent donc chacune vers une limite, mais ces limites sont différentes et peuvent se mettre aussi sous la forme d'une série de fractions simples

pe)

De sparstat Hipnto Pi (@) d br 7 sis tt: rat. Eat.

uk, Àr, vk, 0x Étant des nombres réels et positifs.

[+] Second cas. — La série A an est divergente.

Dans ce cas, les réduites tendent vers une limite finie quelle que soit la valeur de z; il faut excepter seulement les valeurs réelles et négatives de z, et considérer ainsi la partie négative de l’axe réel comme une coupure, Cette limite est une fonction analytique de 2 qui peut se mettre sous la forme

2 Db(u)du 7° dP(u) (z+ u? 1 e+u

Ici &(“) est une fonction réelle et croissante (non analytique, en à 1 général) qui croît de æ(0)—0 jusqu'à æ (œ)= 7 Cette fonction ®(u) peut d’ailleurs présenter des sauts brusques en nombre fini ou infini. La coupure sera ainsi une ligne de singularités essentielles dans le cas

où ®(4) présente des discontinuités dans tout intervalle (ce qu’il faut

considérer comme le cas général) où même lorsqu'elle est seulement non analytique.

On rencontre souvent sous des formes un peu différentes des frac-

tions continues qui rentrent réellement dans le type (1) et auxquelles on peut ainsi appliquer nos théorèmes. D'abord, en posant