ÉTUDE DES INTÉGRALES DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
20. Nous rassemblons ici quelques-unes des formes principales sous lesquelles on est arrivé à présenter les intégrales de cette équation différentielle. On trouve d’abord cette intégrale, qui est holomorphe dans tout le plan,
a? at af D ss 5 J@O=1--S5+% 5 — muet: 1 fjtlcosau du (44) JQ)=—
Une autre intégrale est de la forme
J (a) log (a) +R (a),
R (a) étant holomorphe dans tout le plan, et, intégrant l’équation différentielle par des séries, on trouve cette seconde intégrale
a? a“ a? a“ aÿ (1% + pepe + a 0 + Dh mO ++ D
En désignant par w(x) la dérivée de log l'(x), l'intégrale générale est donc
2 d a?” Aù ie 2 ,42,,,(2n)
nn...
a?" BYE nl vu + 0 +0]; mais la seconde intégrale dont nous nous occuperons est celle-ci COS au Rs 9% ur ES . . V1"
Cette définition n'a un sens que lorsque a est réel. Pour opérer la continuation de cette fonction pour des valeurs imaginaires de l’argument, nous considérons, en supposant a réel et positif, l'intégrale
aui = du. On peut remplacer le chemin d'intégration OABC (Fig. 2). U° — Fig. 2.
Y 0! AB ü x
par une intégration suivant la partie positive de l'axe des y, transformation analogue à celle dont nous nous sommes servi dans le n° 7.
En supposant Vu? — 1 — + i à l’origine, on obtient
e—av d 1 1 eh du + etui a v= — u L Vito V1— hu Ve kor à et la comparaison des parties réelles et imaginaires conduit à ces formules pe re 2 fl sinau 47 . . . K a) —= =f 2 y —— © pee) v 4 3 y —— ©? du, ss jé . V1 tu À V1 —% (48) jo) = En HS de CRE =— | D"
La relation (47) permet de continuer la fonction K (a) dans toute la moitié du plan où la partie réelle de la variable est positive. On vérifie aussi directement que les intégrales
eau 1 sinau
——— à liées Ji è
satisfont l’une et l’autre à l’équation différentielle
1 dz a da
hotes
et que, par conséquent, K (a) est bien une intégrale de l’équation différentielle proposée.
En supposant toujours a réel et positif, nous tirons de l équation (47)
e—aui 2 rl sinaui
__2 f' sinaui (49) (ai) 2 AE du—— Vi
du.
Pour simplifier, nous remarquons que l’on peut, dans l'intégrale etut
Vitu
On obtient ainsi
— du, remplacer le chemin d'intégration OA par OBCD (Fig. 3).
En changeant i en — à et substituant dans (49), il vient
1 au A — au K (ai) =— — Le Fe u + S TT 2 prier bain
FI V’u2 — c'est-à-dire 50 K (ai pe EST PO y AE ) = — D+— du.
(50) (ai) iJ (ai) J PL ja Fig. 3.
pD+i
0 Fe. «
21. Nous nous arrêtons un instant à la détermination des valeurs qu’il faut attribuer dans l'expression de l'intégrale générale (45) à A et à B pour retrouver la fonction K (a). Cette détermination de A et B a été donnée par M. H. Weber dans le Tome 75 du Journal de Borchardt. On peut l’effectuer aussi très simplement ainsi qu’il suit.
. la définition, on a
cos v dv l cos v dv r® COS v dv TT V2 — a? ] Vo — a?
et 1 cos vdv rl dv 1 1— cos v — —= ar =
V2 — a? Vo — a? Vo? — a?
.. A+Vi — © 11— cos v UE dx Vera
a s Tes nr.
g KG) +loga=log(1 + V1 — a?) = dv stf CP pm L
donc
Lim [5 K (a) + log a cou di = do 4138 LEE G=
Le second membre est égal à log 2—€, © désignant toujours la constante eulérienne. En effet, F vr 1 cos v do = T'(p) cos E ou Es l'(p +1) cos | & ;
1 co | vv—1(1—cost)do— | vP — 1 cos v dv — 0 1
On en conclut pour p—=0, à cause de l'(p+1)=1—Cp+...,
[= à ch EL do LE )
La relation
D Lim [5 K (a) + lo al =l82—6
donne sur-le-champ la détermination des constantes A et B, et il vient, en se rappelant que y(1) = —&,
(52. ; ROSE ge lee à +v +0]
En changeant a en ai, il faut remplacer log a par loga+ i,et la
comparaison avec (50) conduit au développement
eau œ 2n
(53) . rene Leone Ly(n+1),
donné par Riemann, de l’une des intégrales de l'équation
1 dz2
a da Rd d
Tete
dont J (ai) est une autre intégrale.
22. On peut changer en intégrales définies les séries (52), (53). En prenant la dérivée par rapport à b de la relation connue
2 fur (lu du = CT T'(a + b)"
il vient, en posant ensuite a=n++4,b—=#},
2 far D qu LT ED C4) — y (+ D]
V1 — 2 2.4...(2n) et Sgen EU ÊRUST) 2| Fam Lie 2.4...(2n) ?
donc
