À l'intérieur, ou sur le contour du cercle C’, on a
AG) +R(@)+...+h()1<L,
mais cette somme
peut se mettre encore sous la forme d’une série ao n br 2! (E a!) , 0 1
convergente dans le cercle C. En appliquant le lemme pour |2|=R,
on conclut
Lex
La:
Cette limitation a lieu quel que soit n. Or nous savons déjà qu’en fai:
sant croître indéfiniment ”, n 2 4!
tend vers une limite finie c;. On en conclut
et l’on voit par là que la série
ao
F(a= Ÿ cz
est convergente dans le cercle C, puisqu'elle l’est dans le cercle C’ qui
diffère aussi peu qu’on le veut de C.
28. Soit e un nombre aussi petit qu’on le voudra; nous avons vu qu’on peut déterminer un nombre » tel que
n+n | AE << Laïl<ar n donc aussi Labs n | et puisque co o n+n k k 2 4at=} ai}, n+n +1 n n on aura :
L 2 € k L ju, <R
Nous obtenons une autre limitation, pour la même expression, par
le raisonnement suivant. D'après l'hypothèse admise on a n+n+n
tant que |21<R’. Or
n+n+n" n+n+n 2. LEE { 2. a!)
n+n+1 n+n+1 . En appliquant le lemme pour |2|—R/, il viendra (n+n+n Dati, n+n+1
donc, en faisant croître indéfiniment »/,
29. Nous allons démontrer maintenant le théorème énoncé, en faisant voir en même temps que la somme de la série est F (2). Pour cela considérons l’expression n+n
F(—Ÿ ff),
et soit R/’ un nombre un peu inférieur à R/, la différence R' — R/’ étant d’ailleurs aussi petite qu’on le voudra.
Soit & un nombre aussi petit qu’on le voudra ; nous allons faire voir qu’on peut trouver toujours un entier n tel que n+n!
F(e)—Ÿ fx (2) Le,
quel que soit #’ et quelle que soit la valeur de z dont le module seulement ne doit pas surpasser R’’.
Voici en effet comment on obtiendra ce nombre n. Déterminons d’abord un entier » tel que MArts.
R) X-—pm<gc
21(SeÉ à
Cela est possible puisque R’’ < R/. Soit ensuite R’/\2 R’
et choisissons un nombre positif £/ tel que
2Me< ge.
Ce nombre &’ obtenu, on détermine enfin n par la condition )
tant que |2/<R,. Cette détermination est encore possible parce qu’on suppose que la série
est uniformément convergente pour |z2|<R,..
D'après les n° 26 et 28 on peut en conclure
pa AË .
n+n +1 Latest n+n +1 Orona n+n co n+n ro net sa Ya):
1 0 1 c'est-à-dire, si l’on se rappelle la définition de c:, n+n co ne (Es) 0 n+n+il
On en conclut, tant que |21< n+n
ro Èn0 “a Af|.
< 5 Rt
Cette limite supérieure est égale à D »
DZ D ay re) al, n+n+1 p +1 n+n +1 et, par conséquent, inférieure à
Ë Re + RE FR?
p+1 c'est-à-dire inférieure à
2Ms' +2L(
R/\r+1 1 FR’ r) X
c'est-à-dire enfin inférieure à &.
Notre théorème se trouve ainsi démontré, car la substitution de R/ au lieu de R/ n’a aucune importance,
