Rappelons d’abord ce lemme
Si la série
(ee)
f(e)= Ÿ ais
est uniformément convergente pour |2|—R, on aura
M étant le maximum du module de f(2) pour |2|=R.
Et l’on sait que l’uniformité de convergence de la série pour |2|=R est assurée, lorsque le rayon de convergence de la série surpasse R. On aurait pu considérer une série
la limitation
aura lieu alors pour les valeurs positives et négatives de 1.
La série D fa (e)
étant uniformément convergente pour |z|£R,, cela veut dire qu'étant donné un nombre & aussi petit qu’on le voudra, il est possible de trou-
ver un entier n tel que n+n |
D fe (e)
quel que soit »/, et cela pour toutes les valeurs de z dont le module ne surpasse pas R..
Cette somme n+n
D fa (e)
est une somme d’un nombre fini de séries
ao
À ki Aiz
toutes convergentes dans le cercle C. Elle pourra donc se mettre aussi sous la forme d’une telle série
n+n o n+n' Lro=te(y st) n 0 n
En appliquant à cette série le lemme rappelé plus haut, en posant |2|=R,, il vient
Cette limitation montre que la série
Le) est convergente,; nous posons
ne
