DATES
quant à la série
Lee]
elle peut être convergente ou divergente; mais, dans le premier cas, on retombe sur un cas déjà étudié.
En supposant au contraire :
1° La série Ë
est divergente ;
2 La série
D (as + as + + Gex) G2k+i
est convergente.
On a un cas particulier nouveau, qui conduit aux résultats suivants Dans tout le plan on a
lim Pon+1(2) = 8, (2), lim Qou+1 (2) = @: (2),
8, (z) et Q, (2) étant holomorphes dans tout le plan. Ces fonctions sont du genre zéro et n’ont que des zéros simples qui sont réels négatifs. On a par exemple
z z z a @=0Ca(1+7) (1 + . (+5)...
où B4 est la limite de la kième racine de Qn+1(—2):2—=0,
pour n = .
La fraction continue tend vers
®, (2) ch d Ô
MA DR SL à
@(z) 2 Tab let:
et la distribution (64, Bx) (= 0) est la solution du problème des moments.
On a ensuite
co 2 ENS SAR PT Pen À CH EL 0h
ce qui met en évidence la convergence de la fraction continue.
68. Je reprends les formules du n° 2, mais pour ordonner maintenant les polynomes P,, Q, suivant des puissances descendantes de la variable
Pan(2)=2"-1(+as-l+has +...) X &üs...40n, Quest (HPpsr EP ti. )XaS...
Pann1(=2* (+yz-l type -3E..) X Ds... Gants Qon+1(2)=2"T1(1+ôz 14H02 2+,.) X 4... @on+1; on aura, en introduisant les bz,
a—=d +b;+...+bon-:1, B=b +b+...+bon-1, y = de +03 +... + bon, d—=db +b +...+ bo».
Posons aussi {2— 1, puis
Uon=i+at+a tt +.,,+Ham—-2in—t, Von=l+Bpi+Bi +... +pnu-nin, Uonsi=l+yt+yi +... Lynn, Von+i=l+ôt+ot+,,,.+ôom—-Dpn;:
on aura
Pon(2) Uon Pon+1 se, g Uan+1
ee ———— 3
—=bl=— ) — Qzn (2) ER PR Qon+1 (2) Vent
en sorte qu’on a Un +1 = Un + dut Un 1, Var Va + DE Va x.
En supposant donc d’abord t positif, les U, et V, vont en augmentant. Pour qu'ils tendent vers des limites finies, il faut évidemment
que les quantités a, B, y, à restent finies. Cette condition revient évidemment à celle-ci : la série
Da
doit être convergente. Ensuite on reconnaît facilement que cette condition nécessaire est aussi suffisante, et qu’elle conduit à cette conséquence : pour toute valeur réelle ou imaginaire de t, on a
lim U, = u (t) ,
n = ao
lim V, = v(t), n=œ0
u(t) et v(t) étant deux fonctions holomorphes. On a donc
EE un es) ce gen he 5)
lim
La fraction continue est donc convergente, et en effet il est clair que la série
Le)
doit être divergente, puisque nous supposons que la série
ee] Eee : ax A x +1
est convergente.
69. Posons n —2m ou n — 2m + 1 selon que n est pair ou impair, on aura Va=(1+xt)(1+xt)...(1+ zut), où nous supposerons M 2 Li? DD 5, >Les ce sont là les racines de
Qon(— 2) = 0 ou de Qon+1(—2):2=0,
rangées par ordre décroissant. Lorsque # croît, une racine +, de rang déterminé 4 croît aussi, et elle tend pour 4— vers une limite déterminée. Et, en effet, elle ne saurait croître indéfiniment puisque la somme de toutes les racines reste finie.
Il 84
Si nous posons lim æx —= Vs
on aura
