CHAPITRE IX
ÉTUDE DES TROIS CAS PARTICULIERS. SUR LE PROBLÈME DES MOMENTS DANS LE CAS INDÉTERMINÉ.
66. Le résultat auquel nous sommes arrivé dans le n° 47 est parfaitement général et embrasse tous les cas possibles. Cependant, il peut arriver que la fonction + (4) prenne une forme particulière: c’est ce qui arrive déjà dans le cas où la fraction continue est oscillante. Nous allons étudier ici quelques nouveaux cas de ce genre.
Supposons 2 — x réel positif; dans quels cas Pen (x) et Q2n (x) tendentils vers une limite finie pour n — w? Puisque
Quant) = B+Bxz+...+ Baux”, By = 1,
B = Ÿ (a+ a+... + ax 1) ao,
il faut certainement que &, reste fini: la série
= D (a+ a+... +asx-1)as,
doit être convergente. Mais cette condition nécessaire est aussi suffi
sante, car, puisque les racines de Q2, (2) —0 sont réelles et négatives, on a
BB, x\”" B Qon (x) < LÉ mere d'enss ''at
La série o étant convergente, il s'ensuit que la série
Le)
est aussi convergente. Quant à la série
) do x—1
elle peut être aussi bien convergente que divergente,
Mais, dans le premier cas, on retombe sur le cas déjà examiné, où aussi Pan+1(x);, Qan+1(x) restent finis Nous aurons un cas nouveau en supposant : 1° La série
est divergente ;
2 La série
co
; (us + as +... + asx-1) dox est convergente.
Par des raisonnements absolument analogues à ceux développés dans le Chapitre IV, on arrivera aux conclusions suivantes. Dans tout le plan on a
lim Pon(2) = 8 (2), lim Qon(z) = Q (2),
S (2) et Q(z) étant des fonctions holomorphes. Ces fonctions sont du genre zéro et n’ont que des zéros simples, qui sont réels négatifs. On a par exemple
a(@=(1+) Le (+4)...
où a; est limite de la kième racine de Qon(— 2) =0,
pour n =.
La fraction continue converge vers
et la distribution (x, ax) est la solution du problème des moments qui est déterminé et n’en admet point d’autres. Puisque
Qan+1 (2) 42Q,(2)+a;2Q@(2)+...+aont12Qon(z)
thés sat
dy ag+...Haonti a+ ag+...Haont:
et que Q: (2) tend vers @ (2) tandis que la série
ao
est divergente, on voit facilement que
: eu Qon+i (2) Fu In pp pare =
de même
P 2 ns a; + ds 1) Aon+1 de 0 Ainsi se vérifie donc la convergence de la fraction continue, puisqu’on a aussi Pan+1(2) 8 (2)
li EE
—. Qon+1 Fr Q(2)
67. Voyons maintenant dans quel cas P2,+1 (x) et Qon +1 (2) tendent vers des limites finies. Puisque Lilo — D, + ®,,x +... . + dx", FL) 2 1 ,
n D = Data... +asas, il faut certainement que la série = Ÿ(a+a+...+an)ass:
soit convergente, Mais cette condition est aussi suffisante. La convergence de 5’ entraîne celle de
Lee)
