SUR QUELQUES TRANSFORMATIONS DE LA FRACTION CONTINUE
76. Supposons qu’à une distribution de masse donnant les moments Co Cyr Cars +++ Ck;
on ajoute une masse # concentrée à l’origine. Il est clair que c, se changera en c, + u; les autres moments ne changent pas. Pour voir ce que devient la fraction continue après cette modification, il suffit de se reporter aux formules des n° 11 et 12. On voit alors que le déterminant A, devient A, + uC,:, les déterminants B,, C, ne changent pas. Il s’ensuit que
don —= Ar de B, Bh—:1 deviendra | (Ant uCs 1Ÿ .: À ; Dr RE or
FER ne Ou Aaon—1;
donc a, se changera en
[1+u(a, + as +... + aon-:1)] Gen = An.
Ensuite, on voit par un calcul analogue que a°,+:1 devient Gon+iC1+ (a +as+...+aon-1)]XT1+ (a + a+... +aon+1)]= nt.
Ces relations, on peut les écrire aussi
1 1 Aiat. té. | ele. 1 (ai + ai +... +aër 1) dr = (a + 3 +... + Gox-1) ao. Sous cette forme, elles sont presque évidentes, puisque
Ce (a, + ag +... + aox1) aox = PE
Si le problème des moments est indéterminé dans le cas des données Co Cris Cas Cap +.
il séra évidemment aussi indéterminé dans le cas des moments
GOT, Ci Cos Css Mais si l’on est d’abord dans le cas déterminé, pourra t-il arriver qu’on soit dans le cas indéterminé après avoir ajouté le masse x à l’origine? Nous avons déjà annoncé (n° 65) que cela ne peut arriver que dans un cas exceptionnel.
En effet, on suppose la série
Sos
divergente et les séries
co co
) aSk—1; ) a2k
convergentes l’une et l’autre. La première série est toujours convergente mais, pour que
soit convergente, il faut et il suffit que co
D (a + 43 +... + dor-1) der
£ soit convergente. Il s’ensuit que la série é Le) ) d2k
est convergente aussi; donc
oo
sera divergente, tandis que Lee)
D + a+... + 0x1) dos
sera convergente évidemment. On est donc dans le cas particulier étudié au n°66, et la solution du problème des moments est donnée par le
système (74, ak) Amies, à
Mais, en ajoutant la masse « à l’origine, on obtient un système indéterminé. Mais je dis que la solution formée par les masses u et (x, ax) est la solution qui donne la plus grande concentration à l'origine et est, par conséquent, du type
En effet, il y aurait autrement une solution avec une masse u + u' à l’origine, et, en ôtant la masse u, on aurait un système équivalent au système (7x, ax), mais qui ne serait pas identique avec ce système déterminé, ce qui est impossible.
77. Supposons maintenant que l’on remplace c4 par cx+1. De chaque solution (m:;,x:) du problème des moments (&, c;,&,...) on déduira évidemment la solution (m;x;, x:) pour le cas des moments (c;, €, ca, ...). Ainsi, si l’on est d’abord dans le cas indéterminé, on restera toujours dans ce cas indéterminé. Mais nous avons annoncé déjà (n° 65) que, lorsqu'on est d’abord dans le cas déterminé, il pourra arriver, dans un cas exceptionnel, que le second problème soit indéterminé.
C'est ce qu’on déduira sans difficulté des formules que nous allons donner.
Il est clair que, par le changement de cxen cx+1, An deviendra B,, B, deviendra C.
Donc, si a, se change en «a,, on aura
Gin = ee x Cr Ch 1 Hi
— = Aon (ay + as +... + Gan—1).
, Aon—1 — B, ST
= Aon+1 : (a, + as +. æ + on -1)(4 + 43 +... + Gon+1),
Ensuite, on voit facilement que Q2,(2:) devient
Qon+1(e) 4 Qun+i (0)
Voici maintenant les formules pour la transformation inverse. En réduisant la série
m c C c PS2 en fraction continue ai z + À , giéé a, z + on aura ÿ FX, di TN.
ln+1 = on: (M—G — A4 —...— Agn—2) (M— A3 — 4 —...— An), Un —=Gon—1(M — A3 — 4j —... — Ain).
78. En dernier lieu étudions l'effet d’une translation sur un système de masses. Cela revient à développer, suivant les puissances descendantes de z, l'expression
