À), (02, À3), ARS
on aura a — &, pour une valeur convenable de +. Cette valeur de + se déterminera par la condition
q(—a) + tq (—a)=0;
elle est positive. La valeur correspondante de »4 est
PCa)+in(—a g'(— a) + tgi (— a)
et un calcul facile montre que cette valeur est précisément égale à
1:[9(— a)g(—a)—g(—a)g (— a), qui est la limite supérieure obtenue plus haut. Si, en second lieu, a est dans un des intervalles
(A; 0), (4; 0), (3, 6), Po on aura a — &; en déterminant # par la condition H(—a)—atq(—a)=0, et la valeur correspondante de 7, est
. PM(—a)—-atp(— a) | gi(—a)—atg'(—a) +tq(—a)
ce qui est égal à la limite supérieure
Lila(—agi(—a)—g (og (a+ go a (— a).
75. Considérons une distribution dans laquelle la masse “ concentrée au point a est maxima. Supprimons cette masse ; je dis que le nouveau système qui reste après cette suppression est un système déterminé. En effet, s’il était indéterminé, on pourrait toujours trouver un système équivalent ayant en a une concentration de masse finie. En rétablissant u, on aurait donc en a une concentration de masse supérieure à u, ce qui est impossible. On voit aussi qu’il n’y a pas
RECHERCHES SUR LES FRACTIONS CONTINUES. b41
deux distributions différentes qui donnent le maximum de masse dans un point donné, Nous avons vu que le système
(vx, 0),
correspondant à la limite à À ee, est celui où la masse », concentrée à
l'origine est maxima. On peut caractériser d’une façon analogue la distribution (uk, 2x)
correspondant à la limite 2e, en disant que c’est la distribution pour
laquelle l'intervalle (0, 4), qui ne contient point de masse, est le plus grand possible. On peut dire aussi que c’est Ja distribution pour laquelle le moment d'ordre — 1
Uk
lk
est minimum. Cela se déduit aisément de certaines formules que nous donnerons plus loin (n° 77, 78). Si l’on a plusieurs solutions du problème des moments, on peut en déduire une nouvelle en multipliant ces solutions par des facteurs positifs dont la somme est 1, et en les superposant ensuite. En partant des solutions
(74; Ex); (74, Ëx)
qui dépendent du paramètre +, on pourra obtenir ainsi des solutions dans lesquelles la masse est répandue d’une manière continue sur l’axe. Nous croyons inutile d'écrire les formules explicites qui renferment évidemment des intégrales.
