EXEMPLES PARTICULIERS
79. Je vais donner maintenant quelques exemples: dans tous les cas la fraction continue sera convergente.
Pour abréger, je supprime toujours les artifices qu’il faut employer pour obtenir la transformation de l'intégrale définie en fraction continue.
Soit À un paramètre positif, je considère d’abord la fraction continue
F3, = —— B + ——> D — s+ 21 1 + 3 sen 31 PE à On a ici 1 25-31 sk+i— 7? A2kr —= 1 ; l’une des deux séries Das, Dax 0 : à
sera donc toujours divergente, et pour 4 — 1 elles le sont toutes les deux; la fraction continue est toujours convergente. Mais il y a lieu de distinguer les cas 1< 1, 4 > 1. Lorsque 1<1,0ona
RS eo) en, dir . g+n(i—12 L'intégrale ® db (u) 1È z+u
se réduit ainsi à une série; il y a sur l’axe une infinité de points matériels |
Pour 1>1,ona
1— 1 F (2, = pren @—1)]
L'intégrale définie se décompose encore en série; la distribution de masse est
mn a —1)|
On voit que, lorsque 1 diffère infiniment peu de l'unité, les masses sont infiniment petites et infiniment rapprochées. Pour = 1, on a une distribution continue de masse, car on retrouve alors la fraction continue de Laguerre
F(z,1) =f re
La distribution de masse doit être regardée comme variant d’une façon continue avec 1.
On a encore cette expression analytique
un —ZU (2 Pb f" (1—1)e ET
a Du
d’où l’on déduit en effet, lorsque 1 < 1,
Le)
F (2, À) =f (1—71)e—2" 2 —n(—/)uqn—1 Ju — 2 es
et, lorsque 1 > 1,
80. On peut rattacher à l'exemple précédent la réduction en frac-
tion continue de la série
w w? w° ils tint ilet
considérée par M. Poincaré (Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. II, p. 8).
Si, dans le cas À < 1, on pose ti à; = —— \ il vient p (0, #)= 14 = (2, à).
Dans le cas À > 1, on posera
wu=1l:1, MR et Plon (e.3)
On obtient ainsi les fractions continues
vw p(w,u) = 1 + u 1 — 0 + — LL.
1 + Ju ler 2wyu 1 + 3x 1 — 00 + TE œ(w, u) us 1 — 210 + di ” 1+ 1 — 20 + a Ju pe 30 u 1 — 0 + 14.
En supposant 0 < w < 1, elles sont convergentes pour toute valeur
L2 . . . 1 réelle ou imaginaire de u, à l'exception des valeurs u = — n°0 s'assure
facilement qu’il y a encore convergence pour toute autre valeur négay ‘4 g
tive de u.
81. On peut généraliser l'exemple précédent en introduisant deux
nouveaux paramètres. Ainsi soit
CEA a (z,4,a, le à es ; =) ss,
e—2u a 1 o ya 1,9 bu dr:
renan=f GE RQ) pu 45
on aura
pour i<1,
oo
F(2,4,a,b)=— +. a(a+1)...(a+n—1) (1— 4)s4èn
Le Fiatou tr
pour 4 >1, | TE : a(a+1)...(a+n—1) (—1)22-tm+a) F(2,40,b)= ÿ LL, 930 z+n(i— 1) ,
tandis que la fraction continue est
où l’on a posé
82. Je vais étudier maintenant, au point de vue de leur convergence, les fractions continues qu’on obtient pour les intégrales
F,(z, = f cn (u,k)e—?“du,
F, (2, k)= [an (uy kke=" du, 0 ,
F (2,4) = "sn (u, kje—s“du,
F, (e, = [sn (u, ke“ du.
En substituant pour les fonctions elliptiques leurs développements suivant les puissances de w, on obtient les développements suivant les puissances descendantes de z. Ces développements sont de la forme
dans le cas de F,(2,k) et F,(2, k); de la forme
dans le cas de F,(2,k)et F,(2,k). Dans tous les cas les coefficients c, sont des polynomes en k à coefficients positifs. Voici maintenant les fractions continues qui sont de la forme
ou de la forme
selon les deux formes du développement suivant les puissances descendantes de z. Dans le cas du second développement les valeurs des a, sont très compliquées; mais, en se bornant à considérer les réduites d'ordre pair [voir la forme (14) de l’Introduction], on a une fraction continue de la forme
d 2+La— An. Fr.
QE Pre x Ta
avec des valeurs simples des 4,, an.
Dans le cas de F, (2,4), on a
=, ban (n— 1}, bi (2n AY,
d'où a, =1, &=1, gent = [et RE DE 2.4,..(2n) | tel __[2.4...(2n— 2)? ,,0 nn mire mou LE
Dans le cas de F, (2,4), on a =, bmi=(2n— IR, bin (2n),
d’où
