n—2)[ 1 dj = kw

Dans le cas de F,(2,k),ona

A=Ï, An—={(2n —1)(2n) (2n + 1) #, an—=(2n— 1) (1 + k?).

Dans le cas de F,(2,k),ona

=2, An=2n(2n+1)(2n+2)8, an =(2n)(1 +6).

La démonstration de ces formules , au point de vue purement formel

se trouve dans un Mémoire que j’ai publié dans le tome III de ces An:-

nales. J'ai ajouté ici seulement la réduction en fraction continue de F, (z ) k).

83. Les fractions continues pour F, (2, 4), F, (2, k) sont convergentes pour toute valeur positive de #. Dès lors elles doivent se mettre sous la forme

® zdD(u), J apu mais nous allons voir que cette intégrale définie se réduit encore à une série. Substituons en effet, aux fonctions elliptiques, leurs développe ments en séries périodiques, on trouve sans peine

: 2a Sr F(z, D = ir D ami o 4 En+Dap | 2K | 7 1] 2 4 q" 2 F;(, k)= 5% z +Y 1+gn , ,(naÿl’ | +(x) rm w(2n+1)g"+} 1 Fi, = ps (2 ta &

—q2nF1 , [(@n+il)r|° +| 2K |

On reconnaît ainsi que les fractions continues pour F,(z, k) et F, (2, k) sont aussi du type que nous avons étudié. C’est ce que nous avons déjà vérifié d’une autre façon dans l’Introduction pour F, (2, k).

Mais les reduites des fractions continues pour F, (2, k), F, (4, k)tendentelles vers les expressions de ces fonctions que nous venons de donner ? Pour répondre affirmativement, il faudrait savoir qu’on est dans le cas déterminé du problème des moments.

84. Supposons 4< 1,q< 1, l'expression de F,(z,k) montre qu’en posant |

n+3 2 gl q RELR AE

—i+gmri SK «ht le système des masses (Mn, Ln) (n=0LR8777

est un système déterminé. Ensuite le système (Mn£n, Tn)

sera aussi déterminé; car, pour qu'il en fût autrement, il faudrait que la série

(eo)

[ee] ÿ: Oon-1= D aan (a + 03 +... + aon-1) ‘ 0

soit convergente (voir n°. 77); or, on constate que la série

VE Ganlin 1 est déjà divergente.

On en conclut que, M étant une constante quelconque, le système des masses

9 1 a+ 2 l)zl2 m, = Tuner M, 2, = [2°] due nt

est un système déterminé. Or, si l’on prend

1 1+ g2+1 Fa Mgr ET gr (n==0,1,2,...)

on reconnaît immédiatement que le système

__(2n+1)g"+i (2n + 1)z7|° Li 1— g27+1 , en

sera aussi détérminé. Cela prouve que la fraction continue pour F, (2, k) est bien dans le cas déterminé; la limite est bien égale à F, (z, k).

Considérons la fraction continue pour F, (2, k). La série

s + * Aon—1—0 est convergente (il y a une concentration de masse à l’origine). Si l'on remplace cx par cx+1, on aura (n°. 77)

An +1 An > "me,

Aon—1 > A? An En changeant de nouveau cz en cx+1, on aura Ain —1 = dan (ai + a3 + FEES — 7 ARR

donc

AËn1 > don A1 > “aan 4 16e Or la série Z An +1 ai, est manifestement divergente; il en est de même de la série Z Aon—1)

ce qui prouve que le système des masses

Mapa en (Tr) est un système déterminé. En prenant 11+9q°" —. n 1—g°" on reconnaît que le système n° q" nr 2 MN le qu a=(T)

est également déterminé, c’est-à-dire la fraction continue pour F, (2, #) tend bien vers F, (2, k).

Nous avons supposé k < 1, mais on voit facilement que

Fi(e, +)=K Fi(ke, 9,

| Fos, +)=x F,(kz, 4),

F, (2, 1\ prise.

k 1 2 Fe, +)=x F(kz, k),

ce qui montre que cette restriction est inutile.

86. Les distributions de masses correspondant aux fonctions F (2, k) présentent toutes cette particularité que, lorsque k tend vers l'unité, les masses deviennent infiniment petites, mais aussi infiniment rapprochées.

Pour 4— 1 on obtient, comme limite, une distribution continue de masse sur l'axe. C’est le même phénomène que nous avons rencontré déjà (n° 79).

Il ne semble pas sans intérêt d'obtenir directement la distribution correspondant à 4—1, comme limite de celle qui correspond à k—=1—e, e Étant infiniment petit. Faisons le calcul pour F,(2, k). Posons

rit el)

8 sera infiniment petit, et l’on aura g9—=e-38 avec une approximation

suffisante. Ensuite 2n 4 0

EE et la masse & (4) comprise dans l'intervalle (0, u) sera 40 ul Par Le FRS oi | 2 D FE LS nl si l’on suppose que l’entier n est déterminé par la condition qu’on doit avoir sensiblement

LE

en sorte que

(Q@n+1)ô=xV"u.

A la limite, es et à tendant vers zéro, on aura

zd%(u) % zdu 2 F, (z = tu —/ - 4 À Lu à 2 +u RUSSES

Remarquons que, dans le cas 4—1, les fractions continues pour F,(z,k), F,(z, k), qui sont de la forme (1°), se ramènent facilement à la forme (1°), ou (I), et l’on reconnaît alors qu’elles sont encore convergentes dans ce cas.

86. Je vais donner maintenant la fraction continue dans quelques cas où les moments c, s'expriment très simplement par les polynomes de Bernoulli, définis par la relation

D Lo (Ds L où) De k = Po P1UW 2 + P2 Ta tnmrs gt..:

e” —1 en sorte que y, (4) — À — }. On supposera dans ce qui suit 0 <1< 1. Considérons d’abord la série

@ 4) 4) y) CR D

2 24 26 2 elle donne la fraction continue b, b 2 1 à.

FA 4, F 1e be 2 + + où b, = À} À (1 bus À), b n(n—À)(n — 1 +1) ra RES 2(@n—1) à

ou bien