u\ 1— cos2nu (85) NU D 6 J=a (— cot 3) qerau 1 du
$ 2 u : ; ; C'est en développant » — cot , suivant les puissances croissantes de “, que M. Schlômilch a d’abord obtenu cette série semi-convergente
remarquable
86 J, = Bi Be Br R Lo ESS 3 Ja trier Tan.@niamit sé
Mais il s’est glissé une erreur dans cette analyse, et le résultat obtenu par M. Schlômilch, que R, ne surpasserait jamais en valeur ab-
TT L2 L solue + Th+1, est nécessairement inexacte d’après les remarques que
nous avons développées dans l’Introduction.
Dans le Tome II de son Cours d'Analyse, M. Schlômilch est revenu sur cette série, en la rattachant cette fois à la formule sommatoire de Maclaurin , il arrive à ce résultat que la valeur absolue de R, ne peut surpasser
__BnBn+1 1 fé, 1 \2nBsy: 1fr, 1 1.3..,(2n) Le Fans a) MB a Ë us ra) +
33. Pour discuter cette série à notre point de vue, nous nous servirons de cette formule
R F2 4 av dv 1 nn Gas)
Nous devons indiquer d’abord comment on peut passer de la formule (85) à la formule (87).
À cause de
2 U 2, au d Ve rent on obtient d’abord
4 4audu 1—cos2nu
2 y2 2 An —U L?rau 1 ou
(SE rs 5. NE 1—cosérnre
1 — y? cetmrav
56 RECHERCHES SUR QUELQUES SÉRIES SEMI-CONVERGENTES. Maintenant on a
® 4avdv re 1—e 1+e | À me eirrar . fr pe
0 1+e 1—Ee
et, si nous posons pour abréger 4nr =D, 4mra—c,
1+e4avdv 1—cosnbo 11 102 ecv—]
— 14 1 1+% 1 a aa QG convwfl pi NS DE re 1l
4all— 1 1+% 1 :
La fonction de eU—W I 9 L y ect +0 — A est finie et con-
tinue dans le voisinage de w—0, et, en appelant M sa valeur pour une certaine valeur de 4 comprise entre 0 et &, nous avons
© 4av 1—cos4x nrv sindrnre lu Qirrav on Eu + (e— Arnr ) 0 l1+e
En faisant croître n indéfiniment, les intégrales
[EE dv cos 4x +" 4avdvcos4rnrv
1 — 722 etrrav 1 — 2 etmrav]
convergent vers zéro; donc
: °4avadv 1—cos4x nrv Lim 1 2 ar rar dot" mar ing — ]
—e4avdv 4av dv =f EE] etrrav rat. ge ete rav} 1779 0 1+e
et, en faisant tendre vers zéro &,
Lim (7 44? dv l— costznre, se ° 4avdv 1 y LE Dep" à À PAOTLE HET Pi, 1— 72 Cr T
L'équation (88) conduit donc à cette expression de J,,
=vnf (SL) En niftéee de PL ere LL. 1 — y 2. press)" P-f 1 — 4x av
34. En faisant usage maintenant, dans la formule (87), de l'identité
ps luth. tomr +,
nous retrouvons la série semi-convergente (86) avec cette expression du terme complémentaire
œ 4av?t+1dv in ne R=v.p. | ne Ga.)
En effet, on trouve
ee] k 1 2k—1 NÉE soie SRE
en substituant pour la fonction P la série qui sert de définition et en faisant usage de la relation connue
Cr ER e2mxv] 7 4k m2“
85. L'expression du terme complémentaire que nous venons d’obtenir donne facilement la résolution approchée de R,—0. On a
P Cr) ertitoh 2er 09 ds. D f(n) et 0?, f(n) désignant le nombre des diviseurs de n. Mais, quand il s’agit de développer la racine de R, —0, suivant les puissances descendantes de », on ne doit retenir que le premier terme e-*#*?. Après les explications du n° 16, où se présentait un cas analogue à l’occasion du développement de log l'(ai), il ne semble pas nécessaire d’insister plus longtemps sur ce point, car cela reviendrait à répéter à peu près ce que nous avons dit là. La résolution approchée de
æ p2"+1 ea»
ph . Esp
se déduit aussitôt du résultat du n° 8, par un simple changement de lettres, et il vient
5 199 2 4 — Le 5 199
me D Se ON ue à à ARTE 12 — 25920 a”
et la valeur approchée de R,, en posant 2x°a—n<+r,
hé ia T ou >: L (94) : 2: . . . Lol Vs lv 5)
On peut, du reste, négliger le petit terme dans (93), et
25920 x° a prendre ainsi simplement 2 x°a— , pour valeur approchée de la racine de R, = 0.
36. Les expressions précédentes montrent l'extrême approximation que la série semi-convergente permet d'obtenir. L'ordre d’approximax 24 1/84 | | tion est e—*7* V°e. et déjà, pour a = 1, l’erreur ne porterait que sur TT
la dix-septième décimale. Aussi nous prenons pour exemple cette valeur beaucoup plus petite a— 1}. On trouve N—4,52 : il faut donc prendre quatre termes et ajouter encore le cinquième terme, multiplié par une fraction À approximativement égale à 0,52. On obtient ainsi
P (}) — 00190210 — 0,0000415 4, et, pour 1= 0,52, P (4) = 0,0189994 ; le valeur exacte est 0,0189992.
L'approximation avec laquelle nous avons résolu l'équation R, — 0 ne laisse rien à désirer.
(Acta Math., Stockholm, 9, 1886, 167—176.)
Note sur un développement de l'intégrale fe” dx.
Lorsque la fonction f(x) devient infinie pour une valeur += c comprise entre a et b, cette circonstance peut Ôter toute signification précise à l'intégrale
fr) dx.
Comme on sait, Cauchy a introduit dans ce cas la considération de l'expression
[re ax + [rte da c+e
Il peut arriver que cette expression tend vers une limite déterminée lorsque la quantité positive # tend vers zéro, cette limite est alors appelée par Cauchy la valeur principale de l'intégrale
b C— € b v.p. / f(&) dx = lim f@az+| f(x) dx.
ñ je: a 4 de
Cette extension de la conception d’une intégrale définie n'est pas généralement admise, on l'a souvent rejetée à cause de sa nature trop arbitraire ou artificielle.
Riemann, dans un mémoire célèbre (Werke, p. 226) s’exprimait de la manière suivante :
»Dans certaines recherches particulières, d’autres déterminations de Cauchy sur la conception d'une intégrale définie dans les cas où celle-ci n'existe pas d’après sa définition fondamentale, peuvent être utiles, mais elles ne sont pas généralement admises, leur nature trop arbitraire ne s'y prêtant guère d’ailleurs.”
La valeur principale d’une intégrale étant une quantité nettement définie, il semble que l’admissibilité d’une telle idée doive dépendre surtout de l'utilité qu’elle peut avoir. Nous croyons que les développements suivants montrent clairement, par un exemple, que les ,,recherches particulières” où la conception de Cauchy est de la plus grande utilité (ou plutôt nécessaire, si nous ne nous trompons pas), ne manquent pas.
