VIE SE
= ete f fe-netn À [Cyan e da dy
L'intégration s'étend encore de x—eV#, y—0 jusqu'à certaines valeurs positives de x et de y. Nous pouvons maintenant, dans les formules (76) et (77), étendre l'intégration jusqu'aux mêmes limites supérieures de x et de y. En réunissant les intégrales, les parties qui deviennent infinies pour £—0 disparaissent, et il vient
Sfr Var
= 2624 f fe-nétn[sasqrss F'u''lez dy.
Dans le second membre, l’intégrale Phone ar y d% dy ne diffère de
4 Lee x?” y?s dx dy or0
que par une quantité qui converge vers zéro plus rapidement qu'aucune
puissance négative de », et nous obtenons enfin le développement cherché
FFE Et es 7 ue a3,0 + &,2 ) (78) vi / me lu +0 DE F:g À 1,0 + on +. À
Nous n'avons pas intégré, il est vrai, le long de toute la ligne de discontinuité; mais, comme le résultat auquel nous arrivons reste le même en changeant dans une certaine mesure les limites supérieures de x et de y, on voit par là même que les parties un peu éloignées de A de la ligne de discontinuité n'ajoutent à l'intégrale que des parties qu’on doit négliger tant qu'il ne s’agit que d’un développement suivant les puissances descendantes de 7.
31. En exécutant les calculs que nous venons de décrire, nous avons trouvé
9) mme EG gun t n 418 +)
et de là nous concluons la résolution approchée de l'équation R, — 0 par l’une ou l’autre des formules
(80) . . . . . . . 2az= n—E + G0n
EE à RER Sréit À
Pour avoir une idée de l’approximation obtenue, nous avons calculé la racine de l'équation
a? at RE 12 12.32...(2n — 3} 148 + tee PL 1 qfedlnai se Tytaut : 27na e l'o | Tr 9 m—DEéd
pour n = 1, 2,8, 4.
Voici les résultats :
Racine Valeur approximative n. de R; = 0; d'après (80). Erreur.
DES 0,2579 0,3015 — 0,0436 Murs 0,7190 0,7341 — 0,0151 BAUNN S, 1,2038 1,2116 — 0,0078
DEL OTEE 1,6955 1,7004 — 0,0049
Pour de plus grandes valeurs de n, l'erreur diminue encore, et les formules (80), (81) suffisent pleinement à notre but. Riemann, en donnant la série semi-convergente, écrivait
Re [1.3...(2n—1)P peer Pr L.2,:.N(8a)-
et il ajoutait qu'on ne peut calculer ainsi J (ai) qu'en négligeant des parties de l’ordre e—?« vis-à-vis de l'unité. Le résultat auquel nous sommes arrivé confirme et précise ces indications.
» a 1 ÉTUDE DE LA FONCTION P (a) — é —
D ge — 1
32. Nous allons étudier maintenant à notre point de vue le développement en série semi-convergente donné en 1861 par M. Schlômilch de la fonction
l ea 1 (Zeitschrift fur Mathem. und Physik, t. VI).
En suivant d’abord l’analyse de M. Schlômilch, nous partirons de
ces formules
® sinmu 1 1 ” D Loue D 3»
Fo 1—cosmudu du nes nr | es nm + log (A —e-")— log m,
dont la première se trouve dans les Exercices de Calcul intégral de Legendre (t. II, p. 189). On peut l’obtenir sans difficulté à l’aide du développement
ER me e?7u __] .
La formule (83) se déduit de (82) par une intégration par rapport à m.
En remplaçant m par =, . ee , on déduit de (82) ts À 1 1 D —=afits ++)" lea 1
et
|: . anu . 2nu 2nu u 2 (sin À +... + in EE) = sin SE 4 (1 — cos à Jeot se.
En ajoutant à cette équation celle-ci, qui est une conséquence de (83),
de 2nu il Er 0O—=—alog2n+n<+taloga+kalog\iI—e 4)/—2a ee
on obtient
an
1 1 1 { ral D - =a (+ ++ —lo82n)+ alo a + alogl1 —e a de ;
Lg 2nu + du. 2 2a TRE” +] es j' PRE ES (or — ct à) ii du.
En faisant croître indéfiniment », l'intégrale
» du . 2nu ” sin e RE | a
converge vers +, et l’on obtient
(84) . . . . . . P(a)=a(loga+C)+}1—7T,, Se U 1 — cos “P# Ja = (UE — cot à) av] du ou
