ÉTUDE DU LOGARITHME INTÉGRAL

1. Le logarithme intégral fournit un exemple très simple d'une serie de seconde espèce que nous allons discuter avec soin. Nous partons de la définition ,

li (a) seofies

mais, dans le cas a > 1 que nous avons en vue, cette définition a besoin d’être précisée de la manière suivante

“és hi Jef ee u ca Î log FR 0 1+e En remplaçant l’argument à par e“* et en posant ensuite u—eati-—v)

il vient

D ien=e( [7 — à a+ [ dv)

Nous désignons ici, comme toujours dans la suite, par £ une quantité positive et infiniment petite.

En employant maintenant l'identité

Re # .2 — 1 A sel Ho+uw + .. Hour ns ete

on a évidemment

l—E€ œ Î vee—arao+ dd ererah éereË 0 1+e et il vient É 1 n — 1 @) .. lee titi. pen LR 1—e pnp—av n p—av Ru= | + ao+ [ —— dv 0 1+6e

Comme on voit, R, est ce que Cauchy a appelé la valeur principale

2" E— av de ‘à Le Fan dv, et nous retrouverons dans la suite constamment cette forme du terme complémentaire des séries de seconde espèce. Cette forme même de R, montre bien que R, va toujours en diminuant lorsque n augmente. .

Nous devons nous occuper maintenant de la résolution approchée de

l'équation R, — 0. Pour cela nous posons a=n<+1, 1 —v\n co v\n ET e-rav+ | ——— e"1" dv, 1—0 0 1+e

*.: se 20

et nous développons maintenant R, en série semi-convergente suivant les puissances descendantes de ». Comme on suppose que 7 a une valeur finie, la supposition a — n + n indique évidemment que nous considérons le reste d’un terme T, dans le voisinage du plus petit terme.

Nous aurons à appliquer maintenant les méthodes données par Laplace dans la Théorie analytique des probabilités pour l'évaluation d’intégrales qui renferment des fonctions élevées à une très haute puissance.

2. Comme il s’agit simplement d’un développement suivant les puissances descendantes de », nous pouvons négliger des quantités qui, par rapport à celles que l’on conserve, décroissent plus rapidement qu'aucune puissance négative de n. C’est pour cette raison que nous pouvons considérer, au lieu de R,, l'expression

les (us tr per n° ALMA ENT Î PES dv + L re: av, a 1+5 h et k étant des quantités positives finies, d’ailleurs arbitraires; car nous verrons bientôt que les parties négligées ainsi 1—h Ÿ Ag n co P pad n Î We, RE LE mg 1—v 1—0 0 1+%

ne jouent aucun rôle dans le développement que nous avons en vue.